macierz

macierz, Matematyka prof. dr hab. Aleksander Błaszczyk

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wyznaczaniemacierzyodwrotnej
Zadanie1.Wyznacz macierz odwrotn
,
a do macierzy
−2 3
−4 7
A=
.
= (−2)·7−(−4)·3 =−2, czyli det(A) =−2 6= 0, wi
,
ecA
−1
istnieje.
Teraz wyznaczamy dopelnienia algebraiczne wszystkich wyrazow macierzyA:
d
11
= (−1)
1+1
·7 = 7,d
12
= (−1)
1+2
·(−4) = 4,
d
21
= (−1)
2+1
·3 =−3,d
22
= (−1)
2+2
·(−2) =−2.
−2 3
−4 7
7 4
−3−2
Tworzymy macierz dopelnienD=
. Zatem macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzyAjest macierz
7−3
4−2
det(A)
·D
T
= (−
1
2
)·
, czyli ostatecznie
A
−1
=
−
7
2
3
2
−2 1
.
Zadanie2.Wyznacz macierz odwrotn
,
a do macierzy
2
3
2 5 7
6 3 4
5−2−3
A=
4
5
.
Rozwi
,
azanie.Obliczamy najpierw wyznacznik macierzyA:
2 5 7
6 3 4
5−2−3
2 5
6 3
5−2
det(A) =
=−18 + 100−84−105 + 16 + 90 =−1, czyli det(A) =−1 6= 0, wi
,
ec
A
−1
istnieje.
Teraz obliczamy dopelnienia algebraiczne wszystkich wyrazow macierzyA:
d
11
= (−1)
1+1
·
3 4
−2−3
=−9 + 8 =−1,d
12
= (−1)
1+2
·
6 4
5−3
=−(−18−20) = 38,
=−12−15 =−27.
d
13
= (−1)
1+3
·
6 3
5−2
=−(−15 + 14) = 1,d
22
= (−1)
2+2
·
=−6−35 =−41,
d
21
= (−1)
2+1
·
5 7
−2−3
2 7
5−3
=−(−4−25) = 29.
d
23
= (−1)
2+3
·
2 5
5−2
= 20−21 =−1,d
32
= (−1)
3+2
·
=−(8−42) =−34,d
33
=
d
31
= (−1)
3+1
·
5 7
3 4
2 7
6 4
= 6−30 =−24.
(−1)
3+3
·
2 5
6 3
2
3
2
3
−1 38−27
1−41 29
−1−34−24
−1 1 −1
38−41−34
−27
Tworzymy macierz dopelnienD=
4
5
. ZatemA
−1
=
1
det(A)
·D
T
= (−1)·
4
5
,
29−24
czyli ostatecznie
1
Rozwi
,
azanie.Obliczamy najpierw wyznacznik macierzyA:
det(A) =
A
−1
=
1
 2
1 −1 1
−38 41 34
27−29 24
3
A
−1
=
4
5
.
Zadanie3.Wyznacz macierz odwrotn
,
a do macierzy:
A=
2
6
6
4
1 2 3 4
2 3 1 2
1 1 1−1
1 0−2−6
3
7
7
5
.
Rozwi
,
azanie.I Sposob. Stosujemy metod
,
e wyznacznikow
,
a.
1 2 3 4
2 3 1 2
1 1 1−1
1 0−2−6
−1 0 1 6
−1 0−2 5
1 1 1−1
1 0−2−6
det(A) =
w
1
−2w
3
,w
2
−3w
3
=
= (−1)
3+2
·1·
−1 1 6
−1−2 5
1−2−6
−1 1
−1−2
1−2
=
−(−12 + 5 + 12 + 12−10−6) =−1, czyli det(A) =−1 6= 0 iA
−1
istnieje.
Obliczamy teraz dopelnienia algebraiczne wszystkich elementow macierzyA:
d
11
= (−1)
1+1
·
3 1 2
1 1−1
0−2−6
3 1
1 1
0−2
=−18 + 0−4−0−6 + 6 =−22,
d
12
= (−1)
1+2
·
2 1 2
1 1−1
1−2−6
2 1
1 1
1−2
=−[−12−1−4−2−4 + 6] = 17,
d
13
= (−1)
1+3
·
2 3 2
1 1−1
1 0−6
2 3
1 1
1 0
=−12−3 + 0−2−0 + 18 = 1,
d
14
= (−1)
1+4
·
2 3 1
1 1 1
1 0−2
2 3
1 1
1 0
=−[−4 + 3 + 0−1−0 + 6] =−4.
d
21
= (−1)
2+1
·
2 3 4
1 1−1
0−2−6
2 3
1 1
0−2
=−[−12 + 0−8−0−4 + 18] = 6,
d
22
= (−1)
2+2
·
1 3 4
1 1−1
1−2−6
1 3
1 1
1−2
=−6−3−8−4−2 + 18 =−5,
d
23
= (−1)
2+3
·
1 2 4
1 1−1
1 0−6
1 2
1 1
1 0
=−[−6−2 + 0−4−0 + 12] = 0,
d
24
= (−1)
2+4
·
1 2 3
1 1 1
1 0−2
1 2
1 1
1 0
=−2 + 2 + 0−3−0 + 4 = 1.
d
31
= (−1)
3+1
·
2 3 4
3 1 2
0−2−6
2 3
3 1
0−2
=−12 + 0−24−0 + 8 + 54 = 26,
d
32
= (−1)
3+2
·
1 3 4
2 1 2
1−2−6
1 3
2 1
1−2
=−[−6 + 6−16−4 + 4 + 36] =−20,
2
d
33
= (−1)
3+3
·
1 2 4
2 3 2
1 0−6
1 2
2 3
1 0
=−18 + 4 + 0−12−0 + 24 =−2,
d
34
= (−1)
3+4
·
1 2 3
2 3 1
1 0−2
1 2
2 3
1 0
=−[−6 + 2 + 0−9−0 + 8] = 5.
d
41
= (−1)
4+1
·
2 3 4
3 1 2
1 1−1
2 3
3 1
1 1
=−[−2 + 6 + 12−4−4 + 9] =−17,
d
42
= (−1)
4+2
·
1 3 4
2 1 2
1 1−1
1 3
2 1
1 1
=−1 + 6 + 8−4−2 + 6 = 13,
d
43
= (−1)
4+3
·
1 2 4
2 3 2
1 1−1
1 2
2 3
1 1
=−[−3 + 4 + 8−12−2 + 4] = 1,
d
44
= (−1)
4+4
·
1 2 3
2 3 1
1 1 1
1 2
2 3
1 1
= 3 + 2 + 6−9−1−4 =−3.
Tworzymy macierz dopelnien:
2
6
6
4
−22
17
1−4
3
7
7
5
.
D=
6 −5
0
1
26−20−2
5
−17
13
1−3
Wypisujemy macierz odwrotn
,
a do macierzyA:
2
−22 6 26−17
17−5−20
3
A
−1
=
1
det(A)
·D
T
= (−1)·
6
6
4
13
7
7
5
, czyli ostatecznie:
1
0 −2
1
−4
1
5 −3
2
22−6−26 17
−17 5 20−13
−1 0 2 −1
4−1 −5
3
A
−1
=
6
6
4
7
7
5
.
3
II Sposob. Stosuj
,
ac operacje elementarne na wierszach macierzy [A|I
4
] przeksztalcimy j
,
a do postaci
[I
4
|A
−1
].
2
1 2 3 4 1 0 0 0
2 3 1 2 0 1 0 0
1 1 1−1 0 0 1 0
1 0−2−6 0 0 0 1
3
2
0 2 5 10 1 0 0−1
0 3 5 14 0 1 0−2
0 1 3 5 0 0 1−1
1 0−2−6 0 0 0
3
6
6
4
7
7
5
w
1
−w
4
,w
2
−2w
4
,w
3
−w
4
6
6
4
7
7
5
w
1
$w
4
2
3
2
3
1
1 0−2−6 0 0 0
1
1 0−2−6 0 0
0
1
6
6
4
0 3
5 14 0 1 0−2
7
7
5
w
2
−3w
3
,w
4
−2w
3
6
6
4
0 0−4−1 0 1−3
1
7
7
5
w
2
$w
3
0 1
3
5 0 0 1−1
0 1
3
5 0 0
1−1
2
6
6
4
0 2
5 10 1 0 0−1
3
7
7
5
2
6
6
4
0 0−1
0 1 0−2
3
7
7
5
1
1 0−2−6 0 0 0 1
0 1 3 5 0 0 1−1
0 0−4−1 0 1−3
1 0−2−6
0 0
0
1
w
3
−4w
4
0 1
3
5
0 0
1−1
w
3
−!w
4
1
0 0
0−1−4 1
5−3
0 0−1
0 1 0−2
1
0 0−1
0
1 0−2
1
3
2
6
6
4
1 0−2−6
0 0
0
1
3
7
7
5
2
6
6
4
1 0−2−6
0
0
0
1
3
7
7
5
0 1
3
5
0 0
1−1
(−1)w
3
,(−1)w
4
0 1
3
5
0
0
1−1
w
1
+6w
4
,w
2
−5w
4
0 0−1
0
1 0−2
1
0 0
1
0−1
0
2−1
0 0
0−1−4 1
5−3
0 0
0
1
4−1−5
3
2
3
2
3
1 0−2 0
24−6−30
19
1 0 0 0
22−6−26
17
6
6
4
0 1
3 0−20
5
26−16
7
7
5
w
1
+2w
3
,w
2
−3w
3
6
6
4
0 1 0 0−17
5
20−13
7
7
5
.
0 0
1 0 −1
0
2 −1
0 0 1 0 −1
0
2 −1
0 0
0 1
4−1 −5
3
0 0 0 1
4−1 −5
3
Zatem ostatecznie:
A
−1
=
2
6
6
4
22−6−26 17
−17 5 20−13
−1 0 2 −1
4−1 −5
3
7
7
5
.
3
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl