Matematyka finansowa

Matematyka finansowa, studia, studia materiały, matem finansowa

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Matematyka nansowa
Piotr Fijalkowski
Literatura
1. B. Cialowicz, I.
Cwi eczek, Oprocentowanie lokat i strumieni
platnosci.
2. M. D abrowa, Zbior zadan z matematyki nansowej.
3. M. Dobija, E. Smaga, Podstawy matematyki nansowej i ubez-
pieczeniowej.
4. K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje.
5. J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, L. Stettner, Ma-
tematyka nansowa.
6. M. Podgorska, J. Klimkowska, Matematyka nansowa.
Literatura uzupelniaj aca
1. E. Smaga, Arytmetyka nansowa.
2. R. Weron, Inzynieria nansowa.
1
1 Wst ep
Niniejsze opracowanie jest skrotem wykladu z klasycznej matema-
tyki nansowej, to znaczy teorii opartych o klasyczny deterministyczny
model zmian wartosci kapitalu w czasie. Obejmuje nast epuj ace kla-
syczne zagadnienia nansowe:
Lokaty i ich oprocentowanie
Dyskontowanie
Wartosc kapitalu w czasie
Splata pozyczek
Renty
2 Lokaty i ich oprocentowanie
Pozyczaj ac pieni adze na pewien okres czasu, na przyklad w for-
mie lokaty bankowej, oczekujemy gratykacji zaleznej od wysokosci
tego kapitalu i od okresu czasu lokaty. Gratykacj e tak a nazywamy
odsetkami lub oprocentowaniem.
Tu i dalej b edziemy stosowac nast epuj ace oznaczenia:
r
(ewentualnie ze wskaznikiem) - stopa procentowa roczna,
p
(ewentualnie ze wskaznikiem) - stopa procentowa podokresowa,
tzn. odnosz aca si e do cz esci roku,
PV
- wartosc obecna (pocz atkowa) kapitalu (Present Value),
FV
- wartosc przyszla kapitalu - po danym okresie czasu (Future
Value),
n
- czas w liczbie lat, po jakim obliczamy wartosc koncow a kapitalu,
m
- czas w liczbie podokresow,
k
- parametr podokresu oznaczaj acy, ze podokres jest
k
roku.
2
1
2.1 Oprocentowanie proste
Oprocentowanie proste lokaty polega na dopisaniu do rachunku
pod koniec okresu lokaty odsetek o wartosci proporcjonalnej do wartosci
pocz atkowej kapitalu i okresu trwania lokaty. W trakcie trwania lo-
katy odsetki nie podlegaj a oprocentowaniu. Parametrem decyduj acym
o wielkosci oprocentowania jest roczna stopa procentowa oznaczaj aca
wzgl edny przyrost kapitalu tzn. stosunek przyrostu do wartosci pocz at-
kowej w okresie rocznym.
Po
n
latach (liczba lat nie musi byc calkowita) nalezne odsetki za
1 rok wynosz a
PV r
, wi ec za
n
lat nalezne odsetki wynosz a
I
=
PV nr;
zatem
FV
=
PV
+
I
=
PV
+
PV nr
=
PV
(1 +
nr
)
:
W praktyce ten sposob naliczania odsetek stosowany jest poza in-
stytucjami nansowymi, np. w prywatnych pozyczkach.
2.2 Oprocentowanie skladane z akumulacj a (kapitalizacj a
roczn a
Oprocentowanie skladane z akumulacj a (kapitalizacj a)
roczn a polega na tym, ze po kazdym roku naliczone odsetki doli-
czamy do kapitalu i bior a one udzial w dalszym oprocentowaniu. Po
roku kapital wynosi wi ec
PV
+
PV r
=
PV
(1+
r
), po dwoch
PV
(1+
r
)
2
,
ogolnie po calkowitej ilosci
n
lat:
FV
=
PV
(1 +
r
)
n
;
natomiast odsetki wynosz a
I
=
FV PV
=
PV
(1 +
r
)
n
PV
=
PV
((1 +
r
)
n
1)
:
3
2.3 Oprocentowanie skladane z akumulacj a (kapitalizacj a)
podokresow a
k
roku doli-
czamy do kapitalu i bior a one udzial w dalszym oprocentowaniu. Jesli
p
- oznacza stop e procentow a dla podokresu,
m
- oznacza ilosc pod-
okresow, to analogicznie, jak dla kapitalizacji rocznej wartosc przyszla
kapitalu wynosi
1
FV
=
PV
(1 +
p
)
m
;
natomiast odsetki wynosz a
I
=
FV PV
=
PV
(1 +
p
)
m
PV
=
PV
((1 +
p
)
n
1)
:
Najcz esciej mamy podan a roczn a nominaln a stop e procentow a
r
, ktor a rozumiemy jako tak a stop e procentow a roczn a, ktora dla
okresu 1 roku daje oprocentowanie proste takie samo, jak
k
okresow
ze stop a podokresow a
p
, czyli
r
=
kp:
Mamy wtedy:
p
=
r
k
i
FV
=
PV
(1 +
r
k
)
m
lub
FV
=
PV
(1 +
r
k
)
kn
;
jesli
n
jest liczb a lat tak a, ze
kn
jest liczb a naturaln a.
W praktyce typowymi wartosciami
k
s a
k
= 2 - podokresem jest polrocze,
k
= 4 - podokresem jest kwartal,
k
= 12 - podokresem jest miesi ac,
k
= 365 (lub
k
= 360) - podokresem jest doba.
Dla
k
= 1 otrzymujemy podokres rowny 1 rokowi.
Ten sposob naliczania odsetek jest typowy dla lokat bankowych.
4
Oprocentowanie skladane z akumulacj a (kapitalizacj a) pod-
okresow a polega na tym, ze odsetki za kazdy podokres
2.4 Oprocentowanie ci agle
Oprocentowanie ci agle okreslamy jako sposob powstaly przez
przejscie graniczne
k !1
, co interpretujemy jako dopisywanie odse-
tek w sposob ci agly - po kazdej ,,nieskonczenie" malej chwili dopisu-
jemy nalezne odsetki, ktore bior a udzial w dalszym oprocentowaniu.
Wartosc przyszla kapitalu po czasie
n
lat wynosi:
k!1
PV
(1 +
r
k
)
kn
= lim
k!1
PV
(1 +
r
nr
=
PV e
nr
;
czyli
FV
=
PV e
nr
;
a odsetki wynosz a
I
=
FV PV
=
PV e
nr
PV
=
PV
(
e
nr
1)
:
Oprocentowanie ci agle jest najbardziej ,,sprawiedliwym" sposobem
naliczania odsetek i ma t e zalet e, ze liczba
n
moze byc dowoln a rzeczy-
wist a (w praktyce wymiern a) liczb a dodatni a. W praktyce stosowane
jest tylko do duzych pozyczek mi edzybankowych.
5
k
)
r
FV
= lim
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl