matma1

matma1, studia, semestr I, Matematyka 1, Matma, Zadania, notatki

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Józef SzymczakPolitechnika OpolskaMACIERZE I WYZNACZNIKI(notatki z wykładu)I. Macierze.NiechN1={1,2,3,...,m},N2={1,2,3,...,n}. Iloczyn kartezjański tych zbiorów oznaczamy symbolemN1×N2i definiujemy w następujący sposób:N1×N2={(i,j) :i∈N1,j∈N2}. Odwzorowanie iloczynukartezjańskiegoN1×N2na pewien zbiórAnazywamymacierząi zapisujemy ją w postaci prostokątnej tablicyskładającej się zmwierszy inkolumn:a11aA=21.am1a12a22.am2............a1na2n..amnElementami macierzy mogą być liczby rzeczywiste, zespolone bądź funkcje.Macierz możemy też zapisać w skróconej formie:A=[aij]m×n,gdzie indeksm×noznacza wymiar (typ) macierzy. Zapisaijoznacza element macierzy należący doi-tegowiersza orazj-tejkolumny. Jeślim=n, to mówimy,żemacierz jest macierzą kwadratowąn-tego stopnia.Definicja 1. Dwie macierze są równe gdy mają ten sam wymiar i na tych samych miejscach tesame elementy, tzn.:A=B⇔aij=bijdla każdej pary(i,j)∈N1×N2.Przykłady macierzy:A1×n=[a11a12... a1n]– macierz wierszowa (mająca jeden wiersz inkolumn);a11aAm×1=21– macierz kolumnowa (mająca jedną kolumnę imwierszy);... am1Θ=........– macierz zerowa wymiarum×n,... ....m×nMacierzdiagonalnato macierz kwadratowa, której elementy poza główną przekątną są zerami:a11.a22..............ann.Główną przekątną tej macierzy stanowią elementy o równych indeksach pierwszym i drugim.Macierzjednostkowato macierz diagonalna, która na głównej przekątnej ma same jedynki. Oznaczamy jąsymbolemIn, gdzie indeksnoznacza stopień tej macierzy:1=.1...............1In1 dlai=jaij=,i,j= 1,2,...,n.0 dlai≠jMacierztransponowanado macierzyAwymiarum×nto macierz wymiarun×m,która powstaje z danejmacierzy przez zamianę wierszy z kolumnami (bez zmiany ich kolejności). Oznaczamy ją symbolemAT. Naprzykład:a da b cTjeśliA=, toA=b e.d e fc fJeżeli spełniona jest równośćA=AT, to macierzAjest kwadratową macierząsymetryczną(w takiejmacierzy mamyaij=aji). Na przykład:1A=-25-2454,3AT1=-25T-24543.Zachodzi oczywista równość:AT( )=A.Jeśli dla macierzyAzachodzi równośćAT= −A, to mówimy,żeAjest macierząantysymetryczną.II. Działania na macierzach.Dodawanie macierzyjest określone tylko dla macierzy tego samego wymiaru:A+B=[aij]m×n+[bij]m×n=[aij+bij]m×n.Na przykład1312 2+- 1 1 -133=11215.Dodawanie macierzy ma następujące własności:−jest działaniem łącznym:A+(B+C)=(A+B)+C,A+B=B+A,−jest działaniem przemiennym:−elementem neutralnym dodawania macierzy jest macierz zerowa danego wymiaru:A+Θ=A,−do każdej macierzyAistnieje macierz przeciwna−Atego samego wymiaru taka,żeA+(−A)=Θ.Na przykład1 3 2 -1-3-2 0 1-1+-1 1=  .Mówimy,że ze względu na powyższe własności zbiór wszystkich macierzy danego wymiaruMm×nzdziałaniem dodawania stanowigrupęprzemienną.Mnożenie macierzy przez liczbę(rzeczywistąlub zespoloną) polega na wymnożeniu przez tęliczbękażdego elementu macierzy:k⋅A=k⋅[aij]m×n=[kaij]m×n.Na przykład25⋅-146 10=- 3  -52030.- 15Mnożenie macierzy przez liczbę ma następujące własności:1o.α⋅(A+B) =α⋅A+α⋅B,2o.(α+β)⋅A=α⋅A+β⋅A,3o.(αβ)⋅A=α⋅(β⋅A),4o. 1⋅A =A.Ćwiczenie1. Obliczyć3A−4Bjeślii1-i1 0.A=, B=2ii -1Mnożenie macierzy przez macierz.Działanie to jest wykonalne tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszydrugiej macierzy. W wyniku mnożenia tych macierzy otrzymujemy macierz mającą tyle samo wierszy copierwsza macierz i tyle kolumn, ile ma druga macierz:A=[aij]m×n,B=[bij]n×p,A⋅B=C=[cij]m×p,gdzie elementycijiloczynu wyznaczane są według wzoru:cij=∑aik⋅bkj=ai1⋅b1j+ai2⋅b2j+...+ain⋅bnj,k=1defna więc elementcijotrzymujemy sumując iloczyny odpowiednich elementówi-tegowiersza macierzyAij-tejkolumny macierzyB.Przy mnożeniu macierzy wygodnie jest stosować tzw. schemat Falka, sporządzając prostą tabelę.W lewym dolnym polu tabeli wpisujemy macierzA,a w prawym górnympolu wpisujemy macierzB.Wynik otrzymujemy w prawym dolnym polutabeli, mając zawsze elementcijna przedłużeniui-tego wiersza macierzyAorazj-tej kolumny macierzyB.2Przykład. Pomnóżmy macierzeA=- 15Stosując schemat Falka mamy:3-22 3 0- 1 4 - 115 1 134,13B=3- 2- 1 2 0- 3 1 4.A⋅B-1-3- 11- 11−8217211412164, a więcA⋅B=- 1113- 11 2 16.−8 11 4- 11 7 12Przykład. NiechA=- 23- 64,B=- 22- 33. WtedyA⋅B=- 1218- 1827(sprawdzić). Zauważmy ponadto,żew tym przypadku możemy też wyznaczyć iloczynB⋅A.Otrzymamy tutaj0 0B⋅A=(zauważmy,że iloczyn dwóch niezerowych macierzy może byćmacierzązerową).Uwaga. Mnożenie macierzy jest na ogół działaniemnieprzemiennym.4Ćwiczenie 2. ObliczyćA⋅BiB⋅AjeśliA=[1 2 3],B=5.6 Jeśli macierzAma wymiarm×n,wtedyA⋅In=Im⋅A=A(macierz jednostkowa jest elementem neutralnym mnożenia macierzy).Iloczyn macierzy przy założeniu jego wykonalności ma własnośćłączności oraz własnośćrozdzielnościwzględem dodawania:(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C),A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C ,(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C .Ćwiczenie 3. Sprawdzićna wybranych przykładach,że zachodząwzory:(A+B)T=AT+BT,(A⋅B)T=BT⋅AT.Sprawdzić,że macierzA+ATjest symetryczna, a macierzA−ATjest antysymetryczna, w przypadku, gdyAjest macierząkwadratową.III.Wyznacznik macierzy kwadratowej.Definicja 2.Wyznacznikiemmacierzy kwadratowejA(o elementach rzeczywistych lub zespolonych)nazywamy funkcję, oznaczonąsymbolemdetAlubA, przypisującądanej macierzy liczbę(rzeczywistąlub zespoloną) w następujący sposób:1jeśliA=a11, to detA=a11,o[ ]2jeśliAjest stopnian≥2, toodetA= (-1)1+1a11detA11+(-1)1+2a12detA12+...+(-1)1+na1ndetA1ngdzieA1koznacza macierz otrzymanąz macierzyAprzez skreślenie 1-go wiersza ik-tejkolumny.W szczególności, gdyA=, todetA==ad-bc.c dc da baba11a12a13aa23aa23aa22GdyA=a21a22a23, todetA=a11 22.−a12 21+a13 21a32a33a31a33a31a32a31a32a33Na przykład: a)4 3 -23 4=3⋅5−(−2)⋅4=23 ,−2 52 04 5−3⋅1 03 5+(-2)⋅1 23 4=4⋅10−3⋅5+(−2)(−2)=40−15+4=29.b)1 23 4=4⋅5c) Dla wyznacznika stopnia trzeciego, wygodnądo obliczeńjest teżtzw. metoda Sarrusa.Definicja 3.Dopełnieniem algebraicznymelementuaijmacierzy kwadratowejAstopnian≥2nazywamy liczbę:Dij=(-1)i+jdetAij,gdzieAijjest macierząstopnian-1powstałąz macierzyAprzez skreśleniei-tegowiersza orazj-tejkolumny.Jeżeli więc macierz A jest macierząkwadratowąstopnia n≥2, wtedy jej wyznacznik możemy obliczaćwedług wzoru:detA=ai1Di1+ai2Di2+...+ainDinlub według wzoru:detA=a1jD1j+a2jD2j+...+anjDnj(2)(1)Wzór (1) nazywamy rozwinięciem Laplace’a wyznacznika względemi-tego wiersza, a wzór (2) rozwinięciemLaplace’a wyznacznika względemj-tej kolumny.Obliczymy przykładowo wyznacznik stopnia 3 dokonując rozwinięcia Laplace’a względem drugiegowiersza:4 3 -21 23 4=1⋅(-1)52+1 3 - 22+ 2 4 - 2+2⋅(-1)= −23+52=29.4 53 5Własności wyznaczników:1.detAT=detA.2.det(A⋅B)=detA⋅detB.3. Jeśli w macierzy kwadratowej przestawimy dwa dowolne wiersze (lub kolumny), to wartośćjej wyznacznikazmieni sięna przeciwną.1 3 20 -1 22 2 0Na przykład2 2 0= −1 3 20 -1 2(zamieniono tu miejscami wiersze I oraz II).4. Wspólny czynnik występujący w pewnym wierszu (lub kolumnie) można wyłączyćprzed wyznacznik. [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl