Matematyka - 348stron zadania z ...

Matematyka - 348stron zadania z rozwiązaniami, Semestr V, zestawy zadań

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
MATEMATYKA
Zbiory i odwzorowania 2
Liczby zespolone 4 4
Macierze, wyznaczniki, układy równan liniowych 6 6
Algebra liniowa 2 2
Wektory w przestrzeni. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni 6 6
Ci agi i szeregi liczbowe
4 4
Przestrzen metryczna
2
Rachunek rózniczkowy funkcji jednej zmiennej
6 8
Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych
8 6
Całka nieoznaczona
6 6
Całka oznaczona
6 6
Równania rózniczkowe zwyczajne
8 8
Prace kontrolne
4
60 60
1
1. ZBIORY I ODWZOROWANIA
MATEMATYKA
1Zbioryiodwzrowana
1.1 Liczby naturalne i zasada indukcji zupełnej
Zbiór liczb naturalnych
N = {1,2,3,4,...}
oraz naturalne uporz adkowanie tego zbioru, w którym po kazdej liczbie naturalnej n nast epuje
liczba naturalna n+1,sa poj eciami pierwotnymi. Wszystkie własnosci liczb naturalnych
wynikaj
˛
azkilkuwłasnosci podstawowych, które przyjmuje si e bez dowodu jako aksjomaty
teorii liczb naturalnych. Do aksjomatów tych nalezy zasada indukcji zupełnej,która
formułuje twierdzenie:
Twierdzenie 1.1 Jezeli W jest własnosci aokreslon awzbiorzeN itaka, ze:
1. liczba 1 ma własnosc W,
2. dla kazdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja:
jezeli n ma własnosc W,ton+1ma własnosc W
to kazda liczba naturalna ma własnosc W.
Wykazemy, ze dla wszystkich liczb naturalnych i nie mniejszych od 5 zachodzi nierównosc
2
n
>n
2
(1)
W tym celu udowodnimy, ze funkcja f (n)=2
n
−n
2
przyjmuje wartosci dodatnie dla
wszystkich n naturalnych nie mniejszych od 5.Dlan = n
0
=5mamy f (n
0
)=f (n)=
32−25 > 0.Mamywykazac, ze dla n≥ 5 prawdziwa jest implikacja
f (n) > 0 ⇒f (n+1)> 0
W wyniku przekształcen otrzymujemy
f (n+1) = 2
n+1
−(n+1)
2
=2· 2
n
−n
2
−2n−1=
=2· 2
n
−2n
2
+
¡
n
2
−2n−1
¢
=2
2
n
−n
2
¢
+
¡
n
2
−2n−1
¢
=
=2f (n)+(n−3) (n+1)+2
Wida
´
cstad, ze dla n≥ 5 spełniona jest nierównos
´
c(1).
Pot eg e a
n
owykładniku n naturalnym i podstawie a dowolnej definiujemy indukcyjne za
pomoc arównosci:
1. a
1
= a,
2. a
n+1
= a · a
n
dla dowolnego n naturalnego.
Zpowyzszych równosci wynika, ze a
2
= a·a, a
3
= a·a·a itd. Mozemy to wyrazi
´
cjednym
wzorem
a
n
=
a
·
a
·
a
·
...
·
a
| {z }
n razy
Uwaga 1.1 W zbiorze liczb naturalnych dodawanie i mnozenie s a działaniami wewn etrz-
nymi ikazde z tych działa
´
njestł aczne. Zatem N jest półgrup azewzgledu na dodawanie i
półgrup azewzgledu na mno zenie.
2
¡
MATEMATYKA
1. ZBIORY I ODWZOROWANIA
1.2 Liczby całkowite i liczby wymierne
Zbiór liczb całkowitych
Z ={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
składa si
˛
ez:
1. liczb całkowitych dodatnich +1, +2, +3,...,któreuwazamy za identyczne z liczbami
naturalnymi 1, 2, 3,...,
2. liczb całkowitych ujemnych −1, −2, −3,..,któresa liczbami przeciwnymi do liczb
naturalnych,
3. liczby zero 0, która jest liczb acałkowit aneutraln˛a(anidodatnia, ani ujemn a).
Dwie liczby nazywamy liczbami wzajemnie przeciwnymi, jezeli ich suma jest zerem. Liczb e
przeciwn ˛adon oznaczamy −n, a liczb ˛eprzeciwn˛ado−n oznaczamy −(−n)=n.Liczba
przeciwn a do zera jest zero.
Uwaga 1.2 W zbiorze liczb całkowitych dodawanie, odejmowanie i mnozenie s a działaniami
wewn etrznymi.
Liczb awymierna nazywamy liczb e, któr amozna przedstawi
´
cwpostaciułamka zwykłego
m
n
n 6=0
którego licznik m jest dowoln a liczb ˛acałkowit a, a mianownik n jest liczb ˛acałkowit ˛arózn a
od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q.Zamiat
m
n
piszemy cz esto m/n. Liczb e
całkowit a m utozsamiamy z ułamkiem
m
1
.
Przedstawienie liczby wymiernej w postaci ułamka zwykłego jest mozliwe na nieskonczenie
wiele sposobów, bowiem
n
=
km
k 6=0
kn
n
nazywamy skróconym, jezeli jego licznik i mianownik nie maj a wspólnego
podzielnika, a mianownik jest liczb acałkowit adodatnia.
Uwaga 1.3 W zbiorze liczb wymiernych dodawanie, odejmowanie, mnozenie i dzielenie s a
działaniami wewn etrznymi.
Mozemy teraz rozszerzy
´
cdefinicj
˛
epotegi na wykładnik zero i wykładnik całkowity ujemny
dla dowolnej podstawy niezerowej
a
0
=1 a
−n
=1/a
n
dla a 6=0
3
m
Ułamek
m
1. ZBIORY I ODWZOROWANIA
MATEMATYKA
1.3 Liczby rzeczywiste
1.3.1 Liczby niewymierne
Wsród wielkosci rozwazanych w geometrii s ˛atakie,któreniedaj˛asi˛ewyraz ´czapomoca
liczb wymiernych. Do wielkosci tych nalez a:
1. pole okr egu o promieniu 1,
2. długos´cprzekatnej kwadratu o boku jednostkowym,
3. długos
´
ckrawedzi szescianu o obj etosci równej 10 itp.
Dla wyrazenia tych wielkosci rozszerzono poj ecie liczby wprowadzaj ac liczby niewymierne.
Poszczególne liczby niewymierne s a dane jako pierwiastki pewnych równan, jako granice
pewnych ci agów lub za pomoc ainnychwarunków.Uwazamy, ze liczba niewymierna jest przez
dany warunek okreslona, jezeli warunek ten pozwala o kazdej liczbie wymiernej rozstrzygn ac
czy jest mniejsza, czy wi eksza od danej liczby niewymiernej. Warunek ten rozdziela zbiór liczb
wymiernych na dwie klasy: doln ˛aigórna. Mówimy, ze liczba niewymierna jest przekrojem
zbioru liczb wymiernych. Jednoczesnie warunek ten pozwala wyznaczy
´
cprzyblizenie wymierne
danej liczby niewymiernej z dowolnie małym bdem. Zilustrujemy to opisem.
Długosc x kraw edzi szescianu o obj etosci 10 jest liczb a wyznaczon a przez warunek x
3
=10.
Okazuje si e, ze szescian dowolnej liczby wymiernej jest albo wi ekszy albo mniejszy od tej
wartosci. Wówczas zaliczamy dan a liczb
˛
ewymierna d
o
klasy górnej lub dolnej. Jest to
przekrój zbioru liczb wymiernych wyznaczaj acy liczb e
√
10.
Sprawdzenie Klasa Przekrój Klasa
Sprawdzenie
warunku
dolna
górna
warunku
2
3
=8
2.1
3
=9.261
2.15
3
=9.938375
2
2.1
2.15
√
3
2.2
2.16
3
3
=27
2.2
3
=10.648
2.16
3
=10.077696
... ...
3
10 ... ...
10 zbłedem
m
nie
jszym od 0.01.Wpowyzszy sposób mozemy wyznaczy
´
cprzyblizenie wymierne liczby
3
Tak wi ec liczby wymierne 2.15 i 2.16 s aprzyblizeniami liczby niewymiernej
√
√
10 zbłedem dowolnie małym.
1.3.2 Przekrój Dedekinda
Definicja 1.1 Podział zbioru liczb wymiernych na dwa podzbiory A, B niepuste i takie, ze
1. kazda liczba wymierna nalezy do A lub do B,
2. ka
˙
zdaliczbawymiernanalez aca do A jest mniejsza od kazdej liczby wymiernej nalez acej
do B
nazywamy przekrojem zbioru liczb wymiernych.
Nie jest mozliwe, aby w klasie A istniałaliczbanajwieksza a iabyjednoczesnie w klasie B
istniała liczba najmniejsza b,gdy
˙
zwtedysrednia arytmetyczna nie mogłaby naleze´cdozadnej
4
3
3
MATEMATYKA
1. ZBIORY I ODWZOROWANIA
zklasA, B iwarunek1niebyłby spełniony. Fakt ten wyrazamy wówi ac: wzbiorzeliczb
wymiernych nie ma skoków.
Jest mozliwe, ze w klasie A istnieje liczba najwi eksza c,awklasieB nie ma liczby
najmniejszej, lub odwrotnie, w klasie B istnieje liczba najmniejsza c,awklasieA nie ma
liczby najwi ekszej. Wówczas mówimy, ze przekrój zbioru liczb wymiernych wyznacza
liczb
˛
ewymierna c.
Jezeli w klasie A nie ma liczby najwi ekszej, ani w klasie B nie ma liczby najmniejszej,
to mówimy, ze przekrój ujawnia luk e w zbiorze liczb wymiernych oraz wyznacza liczb e
niewymiern a, która t ˛eluk˛ezapełnia.
Jednolite uj ecie liczb wymiernych i niewymiernych za pomoc a przekrojów wprowadził
Dedekind.
1.3.3 Liczby rzeczywiste
Wszystkie liczby wymierne i niewymierne (wszystkie przekroje Dedekinda) razem wzi ete
tworz a zbiór liczb rzeczywistych R. Przy wykonywaniu działan na liczbach rzeczywistych
p
osłu
guj
em
y si ˛eprzyblizeniami wymiernymi tych liczb. Pokazemy to na przykładzie sumy
3
10 +
√
√
2.15 <
3
10
< 2.16
√
1.41 <
2 < 1.42
√
√
3.56 <
3
10 +
2 < 3.58
otrzymujemy przybli zenia sumy z błedem mniejszym od 0.02.
Uwaga 1.4 W zbiorze liczb rzeczywistych R dodawanie, odejmowanie, mnozenie, dzielenie
(przez liczb
˛
erózn
˛
aodzera)orazpotegowanie przy wykładniku całkowitym s a działaniami
wewn etrznymi.
Definicja 1.2 Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia naturalnego n liczby rzeczywistej c
nazywamy liczb e rzeczywist a
√
x =
n
c
(2)
która jest rozwi azaniem równania
x
n
= c
(3)
przy zastrzezeniu, ze jezeli n jest liczb a parzyst a, to x≥ 0 i c≥ 0.
Pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego liczby ujemnej nie istnieje,bowiemrównanie
(3) nie ma rozwi azania, gdy n jest
pa
rzyste,
a
c<0.J
ez
eli pier
wia
stek arytm
et
yczny is
tniej
e,
to jest okreslony jednoznacznie:
√
0=0,
n
√
1=1,
3
√
8=2,
3
√
−8=−2,
4
√
16 = 2,
4
√
−16−
nie istnieje.
Definicja 1.3 Pot eg e a
m/n
owykładniku wymiernym
n
,gdziem jest liczb acałkowit a, a n
liczb a naturaln a, definiujemy wzorem
a
m
n
=
n
√
a
m
dla a>0
(4)
ograniczaj ac si e do przypadku, gdy podstawa a jest liczb adodatnia.
5
√
2.Biorac przybli zenia dziesi etne tych liczb, dolne i górne, z błedem mniejszym od
0.01 idodajac je
n
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl