MatDys 2008 1, studia, matematyka dyskretna

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Zestaw1.
1.Zpomoc
aindukcjimatematycznejudowodni¢,»enast
epuj
acezale»no–cizachodz
adladowolnejliczby
naturalnejn:
(a)
n
P
i
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
; (b)
n
P
(6i−2)=n(3n+1); (c)
n
P
(4i−3)(4i+1)
=
n
1
4n+1
;
i=1
i=1
i=1
(d)
2n−1
(2i+1)=3n
2
; (e)
n
P
i
3
=(
n
P
i)
2
; (f)
2n
P
i
=
2n
P
(−1)
i
−1
i
;
i=n
i=1
i=1
i=n+1
i=1
(g)
n
P
i(i+1)
=
n
1
n+1
; (h)
n
P
1
p
i
>
p
n; (i)
n
P
1
p
i
6
2
p
n−1.
i=1
i=1
i=1
2.Zpomoc
aindukcjimatematycznejudowodni¢,»enast
epuj
acezale»no–cizachodz
adladowolnejliczby
naturalnejn:
(a)7|11
n
−4
n
; (b)16|5
n
−4n−1; (c)8|5
n+1
+2·3
n
+1;
(d)73|8
n+2
+9
2n+1
; (e)3
n+1
|2
3
n
+1; (f)30|n
5
−n;
(g)546|n
13
−n; (h)11|2
6n+1
+3
2n+2
; (i)p|n
p
−n,p-liczbapierwsza.
3.Udowodni¢,»edladowolnejliczbynaturalnejnidladowolnychliczbrzeczywistychnieujemnych
x
1
,x
2
,...,x
n
zachodzinier
ó
wno–¢
x
1
+x
2
+···+x
n
n
>
n
p
x
1
·x
2
·...·x
n
.
3
>
3
p
x
1
·x
2
·x
3
.Og
ó
lnie,
pokaza¢,»ezprawdziwo–cidlanwynikaprawdziwo–¢dla2niwko«cu,»ezprawdziwo–cidlanwynika
prawdziwo–¢dlan−1dokonuj
acpodstawieniax
n
=
x
1
+x
2
+···+x
n
−1
2
>
p
x
1
·x
2
,nast
epnie,»e
x
1
+x
2
+x
3
+x
4
4
>
4
p
x
1
·x
2
·x
3
·x
4
iwreszciekorzystaj
aczpodstawieniax
4
=
x
1
+x
2
+x
3
3
pokaza¢,»e
x
1
+x
2
+x
3
n−1
.
4.Udowodni¢nast
epuj
ac
anier
ó
wno–¢Bernoulliego:dladowolnejliczbyrzeczywisteja−1orazdowolnego
n2
N
zachodzi
(1+a)
n
1+na.
5.(a)Udowodni¢,»edladowolnejliczbynaturalnejnzachodz
anier
ó
wno–ci
1+
1
n
n
2
6
6
3.
1+
1
n
n
(b)Udowodni¢,»eci
aga
n
=
jestrosn
acy.
6.Znalex¢zwartywz
ó
rnaponi»sz
asum
eigoudowodni¢.
1
4
+4
−
3
3
1
3
3
4
+4
+
5
3
5
4
+4
−···+
(−1)
n
(2n+1)
3
(2n+1)
4
+4
.
7.Liczbapierwsza,toliczbaca“kowitawi
ekszaodjedynki,kt
ó
ramadok“adniedwadzielnikinaturalne,
jedynk
eisam
asiebie.Opieraj
acsi
enatejde
nicji,udowodni¢zapomoc
aindukcjimatematycznej,»e
ka»daliczbaca“kowitawi
ekszaodjedynkimo»eby¢zapisanawpostaciiloczynujednejlubwi
ecejliczb
pierwszych.
P
1
jestprawdziwadlan
>
2.
Wskaz
ó
wka:najpierwudowodni¢,»e
x
1
+x
2
2
8.Sformu“owa¢iudowodni¢przezindukcj
ewz
ó
rnasum
e:
1
2
,2
2
−1
2
,3
2
−2
2
+1
2
,4
2
−3
2
+2
2
−1
2
,5
2
−4
2
+3
2
−2
2
+1
2
,itd.
9.(a)Udowodni¢przezindukcj
etwierdzenieNikomachusapochodz
acezoko“osetnegorokunaszejery:
1
3
=1,2
3
=3+5,3
3
=7+9+11,4
3
=13+15+17+19,itd.
(b)Korzystaj
acztwierdzeniaNikomachusaudowodni¢s“ynnywz
ó
r(patrzzadanie1e)
1
3
+2
3
+3
3
+...+n
3
=(1+2+3+...+n)
2
.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • mement.xlx.pl

    • Tematy