Matematyka - Grąziewicz , OCE, Semestr II, Semestr II, Matematyka, Książki

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
SkryptpowstaªnabaziewykªadówzprzedmiotuÿRównaniaró»niczkowe",któreprowadz¦
dlastudentówdrugiegosemestrukierunkuAutomatykaiRobotykanaWydzialeElektro-
technikiiAutomatykiPolitechnikiGda«skiej.Programwykªadówzostaªdobranyzjednej
strony pod k¡tem przydatno±ci w dalszym toku studiów na tym kierunku, a z drugiej
stronytak,abyistniaªarealnaszansajegorealizacjiczasie30godzinwykªaduitakiejsa-
mejilo±ci¢wicze«.Dodatkoweograniczeniawmo»liwo±cipeªnejargumentacjiniektórych
twierdze«wynikaj¡zfaktu,»estudencidrugiegosemestrunieodbylijeszczecaªegokursu
analizymatematycznej.
Skryptjestdost¦pnywformieelektronicznejnamojejstroniedomowej(www.mif.pg.
gda.pl/homepages/graz).Nastronietejzamieszczones¡równie»programykomputerowe
ilustruj¡ce niektóre przykªady zawarte w skrypcie. Programy te zostaªy napisane przez
studentów Matematyki Stosowanej w ramach prowadzonego przeze mnie laboratorium z
ukªadówdynamicznych.
WojciechGr¡ziewicz
W.Gr¡ziewicz RÓWNANIARÓNICZKOWE
3
Spistre±ci
1 Wiadomo±ci wst¦pne z równa« ró»niczkowych
5
1.1 Podstawowedenicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Interpretacjageometrycznarównaniarz¦dupierwszego . . . . . . . . . . . . 13
2 Podstawowetypyrówna«ró»niczkowychzwyczajnychrz¦dupierwszego 17
2.1 Równanieozmiennychrozdzielonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Równaniejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Trajektorieortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Równanieró»niczkoweliniowerz¦dupierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 RównanieBernoulliego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Równania ró»niczkowe wektorowe
34
3.1 Wiadomo±ciwst¦pne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Twierdzeniaoistnieniuijednoznaczno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Ukªadyliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Macierzfundamentalnaijejwªasno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Rezolwentaukªaduliniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3 Ukªadylinioweostaªychwspóªczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.4
Metody wyznaczania macierzy
e
t
A
. . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Skalarne równania liniowe rz¦du
n
75
4.1 Podstawowedenicjeitwierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Skalarnerównanialinioweostaªychwspóªczynnikach . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Rozwi¡zywanie niejednorodnych równa« liniowych o staªych wspóªczynni-
kachmetod¡przewidywa« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Drganialiniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5 RównanieEulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6 Rozwi¡zywanieukªadówrówna«liniowychmetod¡eliminacji . . . . . . . . 96
4
W.Gr¡ziewicz RÓWNANIARÓNICZKOWE
5 Interpretacja dynamiczna ukªadów równa« ró»niczkowych
99
5.1 Trajektoriefazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Caªkipierwsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Elementy teorii stabilno±ci
115
6.1 Stabilno±¢wsensieLapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Stabilno±¢ukªadówliniowychostaªychwspóªczynnikach . . . . . . . . . . . 118
6.3 Stabilno±¢rozwi¡za«równanialiniowegorz¦du
n
. . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4 Stabilno±¢rozwi¡za«ukªadównieliniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.5 FunkcjaLapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Przeksztaªcenie Laplace'a
139
7.1 Denicjaipodstawowewªasno±ciprzeksztaªceniaLaplace'a . . . . . . . . . 139
7.2 PrzeksztaªcenieodwrotnedoprzeksztaªceniaLaplace'a . . . . . . . . . . . . 145
7.3 ZastosowanieprzeksztaªceniaLaplace'adorozwi¡zywaniarówna«ró»nicz-
kowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.4 Splotfunkcjiijegowªasno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5 Transformataoryginaªuokresowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
W.Gr¡ziewicz RÓWNANIARÓNICZKOWE
5
1 Wiadomo±ciwst¦pnezrówna«ró»niczkowych
1.1 Podstawowe denicje
Równaniaró»niczkowes¡topewnegorodzajurównaniafunkcyjne,czylitakierównania,w
którychniewiadom¡jestfunkcja.Wrównaniuró»niczkowymniewiadomafunkcjawyst¦-
pujepodznakiempochodnej.Je»eliniewiadomajestfunkcj¡jednejzmiennej,torównanie
nazywasi¦równaniemró»niczkowymzwyczajnym.Naprzykªadrównania
y
0
+
x
2
y
=sin
x; y
00
+2
yy
0
y
0
2
=0
:::
.Rz¡dnajwy»szejpochodnejwyst¦puj¡cejw
równaniunazywasi¦rz¦demrównania.Pierwszeztychrówna«jestrównaniemró»niczko-
wymzwyczajnymrz¦dupierwszego,adrugierównaniemrz¦dudrugiego.Je»eliwrównaniu
wyst¦puje funkcja dwóch lub wi¦cej zmiennych oraz jej pochodne cz¡stkowe pierwszego
lubwy»szychrz¦dów,totakierównanienazywasi¦równaniemró»niczkowymcz¡stkowym.
Równanie
0
; y
00
@
2
u
@t
2
=0
;
w którym niewiadom¡ funkcj¡ jest funkcja
u
=
u
(
x;t
)
;
jest przykªadem równania ró»-
niczkowegocz¡stkowegorz¦dudrugiego.Tutajzajmowa¢si¦b¦dziemytylkorównaniami
ró»niczkowymizwyczajnymi.
@
2
u
@x
2
1
a
2
Niechdanab¦dziefunkcja
F
:
D
!
R,gdzie
D
R
n
+2
.Równanie
F
(
x;y;y
0
;y
00
;:::;y
(
n
)
)=0
;
(1)
nazywamyrównaniemró»niczkowymzwyczajnymrz¦du
n
wpostaci
ogólnej.
Je»elizrów-
nania (1) mo»na wyznaczy¢
y
(
n
)
przy pomocy pozostaªych zmiennych, to otrzymamy
zwi¡zek
y
(
n
)
=
f
(
x;y;y
0
;:::;y
(
n
1)
)
;
(2)
którynazywamyrównaniemró»niczkowymzwyczajnymrz¦du
n
wpostaci
normalnej.
We¹mypoduwag¦nast¦puj¡cerównanie:
y
0
=
x
2
:
Poszukujemyfunkcji
y
=
y
(
x
),którejpochodnajestrówna
x
2
.Takichfunkcjijestoczy-
wi±cieniesko«czeniewiele.Ka»dazfunkcjipostaci
y
(
x
)=
1
3
x
3
+
C; C
2
R
;
s¡równaniamiró»niczkowymizwyczajnymi.Równaniatewi¡»¡zmienn¡niezale»n¡
x
,nie-
wiadom¡funkcj¦
y
ijejpochodne
y
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • mement.xlx.pl

    • Tematy