Macierze

Macierze,

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Macierze
Macierz
totabelaliczb.Oznaczanajestdu»¡liter¡.Składasi¦z
wierszy
(poziomeci¡giliczb)i
kolumn
(pionowe).
Wymiar
macierzytoilo±¢wierszy×ilo±¢kolumn.Naprzykład:
2
3
2
3
5
,C=
4
,D=
1−1
1−1
1−1
11
2
3
−5−
1
10
1
0
0
0
1350
0−
3
2
4
100
10
01
6
6
4
7
7
5
,E=
A=
p
2−2
,B=
4
4
5
,I=
.
WymiarmacierzyAto2×3,macierzyB-to1×3,macierzyC-to1×1itd.
Ogólnyzapismacierzynp.wymiaru2×3wygl¡danast¦puj¡co:
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
.
Liczby,podstawionewmiejsceliterazodpowiednimiindeksami(oznaczaj¡cyminumerrz¦duinumer
kolumny,wktórejdanaliczbasi¦znajduje)to
elementymacierzy
.Uwaga!Macierzniejestzbiorem,
gdy»istotnejestdlanaspoło»enieka»degoelementu,czylijego
współrz¦dne
-rz¡dikolumna,w
którejsi¦znajduje,aliczbymog¡si¦powtarza¢.NaprzykładwmacierzyAwspółrz¦dne1,3ma
liczba12.Podstawiaj¡cdoogólnegozapisumo»nabyskrótowonapisa¢a
13
=10.
Macierzjest
kwadratowa
,je±liliczbajejwierszyjestrównaliczbiekolumn.Wprzykładach,kwadra-
towes¡macierzeC,E,I.
Macierz
jednostkowa
tomacierzkwadratowa,którejwszystkimielementamimaj¡cymitakisam
numerwierszaikolumnys¡jedynki,za±pozostałewyrazys¡równe0.Macierz¡jednostkow¡wymiaru
2×2jestmacierzI.
Podstawowedziałanianamacierzach
Dodawanieiodejmowaniemacierzy
Je±lidwiemacierzemaj¡tensamwymiarmo»najedodawa¢iodejmowa¢,poprostudodaj¡club
odejmuj¡cposiadaj¡cetesamewspółrz¦dneelementymacierzy.Ogólnywzórnadodawanie(odej-
mowanie)macierzynp.2×3:
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
+(−)
b
11
b
12
b
13
b
21
b
22
b
23
=
a
11
+(−)b
11
a
12
+(−)b
12
a
13
+(−)b
13
a
21
+(−)b
21
a
22
+(−)b
22
a
23
+(−)b
23
.
17
−35
−2−7
0 1
−10
−36
.
Uwaga!Dodawanieiodejmowaniemacierzyró»nychwymiarówniemasensu!
Mno»eniemacierzyprzezliczb¦
Takjakprzydodawaniu-macierzmo»napomno»y¢przezliczb¦,mno»¡cprzezt¦liczb¦ka»dy
+
=
17
−35
214
−610
elementmacierzy.Przykład:2
=
.
Transponowaniemacierzy
Transponowaniemacierzypoleganazamianiewspółrz¦dnychka»degozelementów-numerwiersza
stajesi¦numeremkolumnyinaodwrót.Macierztransponowan¡oznaczamyliter¡Tumieszczon¡w
prawymgórnymindeksie.Uwaga!Transponowaniezmieniawymiarmacierzyzwymiarum×nna
n×m!Ogólnywzórnatransponowaniemacierzynp.2×3:
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
T
2
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
3
=
4
5
.
Przykładdlamacierzyzgórykartki:
2
3
1 1 11
−1−1−11
1301
5−
3
2
0
040
D
T
=
,E
T
=
4
5
.
.Przykład:
2
Mno»eniemacierzyprzezmacierz
Mno»y¢mo»emymacierzewymiarum×nzmacierzamiwymiarun×k(ilo±¢kolumnwpierwszej
macierzymusiby¢równailo±ciwierszywdrugiej),otrzymuj¡cmacierzwymiarum×k.Byobliczy¢
elementmacierzy,b¦d¡cejwynikiemmno»enia,„le»¡cy”naprzeci¦ciui-tegorz¦duij-tejkolumny,
pierwszyelementi-tegowierszapierwszejmacierzymno»ymyprzezpierwszyelementj-tejkolumny
drugiejmacierzy,drugielementprzezdrugiitd.(tuwyja±niasi¦zało»enieowymiarachmacierzy
-wwierszupierwszejmacierzymusiby¢tylesamoelementów,cowkolumniedrugiej),poczym
wszystkieteiloczynydodajemy.Wynikiemtegododawaniajestszukanyelementmacierzy.
Przykład:Spo±ródmacierzyprzykładowychmo»emyszuka¢tylkonast¦puj¡cychiloczynów:AB,
AE,BC,DA,DI,EB,EE=E
2
,IA,II=I
2
.Pozostałeiloczynyniemaj¡sensu,zewzgl¦duna
wymiarymacierzy.Uwaga!Tenfaktodrazupokazuje,»emno»eniemacierzyniejestprzemienne,a
wniektórychprzypadkachbadanieprzemienno±cinawetniemasensu.Dlamacierzykwadratowych
sens,takisamjakdlaliczb,mapodnoszeniemacierzydoodpowiednichpot¦gnaturalnych.
4−11
50−1
2
4
−10
3−2
0 1
3
Przykładliczbowy:Obliczmy
5
.Zgodniezdotychczasow¡wiedz¡jestto
a
11
a
12
a
21
a
22
.Obliczmya
11
.
Zgodniezpowy»szymopisem,nale»ymno»y¢kolejneelementypierwszegowierszapierwszejmacierzy
ipierwszejkolumnydrugiejmacierzy,anast¦pniedoda¢wszystkieiloczyny.Zatem:
a
11
=4·(−1)+(−1)·3+1·0=−7.
−7−1
−5−1
Analogiczniemo»naobliczy¢pozostałeelementymacierzy(¢wiczenie),otrzymuj¡c:
.
Obliczaniewyznacznikamacierzy
Wyznacznikmacierzykwadratowejjesttopewnaliczbajejprzypisana(sensidokładnadefinicjatej
tejliczbyzostan¡obja±nionenawykładzie).DlamacierzykwadratowejMoznaczamyjejwyznacznik
przez|M|lubdetM.Uwaga!Dlamacierzyniekwadratowychliczeniewyznacznikaniemasensu!
Dlamacierzyowymiarze1×1wyznacznikjestzdefinicjirównyjedynemuelementowitejmacierzy.
Dlamacierzyowymiarze2×2,
a
11
a
12
a
21
a
22
det
=a
11
a
22
−a
12
a
21
.
Dlamacierzyowymiarze3×3,
2
3
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
det
4
5
=a
11
a
22
a
33
+a
12
a
23
a
31
+a
13
a
21
a
32
−a
13
a
22
a
31
−a
12
a
21
a
33
−a
11
a
23
a
32
.
Odwracaniemacierzy
Macierz
odwrotna
domacierzykwadratowejMtotakamacierzM
−1
,»eMM
−1
iM
−1
Mjestmacierz¡
jednostkow¡tegosamegowymiarucoM.Dlamacierzy2×2,macierzodwrotn¡obliczamywedług
nast¦puj¡cegowzoru:
a
11
a
12
a
21
a
22
−1
a
22
−a
12
−a
21
a
11
=
1
a
11
a
22
−a
21
a
12
.Uwaga!Macierzyodwrotnejdodanejmo»naszukactylko,je±lijejwyznacznikjestniezerowy!
Obliczanierz¦dumacierzy
Rz¡dmacierzyMwymiarum×njestliczb¡naturaln¡,niewi¦ksz¡ni»mniejszazliczbm,n.Oz-
naczamgoR(M).Jestonrównyilo±ciwierszy(ikolumn)najwi¦kszejmacierzykwadratowejonieze-
rowymwyznaczniku,powstałejzmacierzyMpo„wykre±leniu”niektórychwierszyikolumnmacierzy
M.Naprzykład,dlapodanychnapocz¡tkumacierzymo»naotrzyma¢:R(A)=2(wykre±lamynp.
trzeci¡kolumn¦,alewykre±leniedrugiejnicniedaje),R(B)=0,R(C)=1,R(D)=2,R(E)=3,
R(I)=2.
macierzwymiaru2×2,wi¦cmo»nawyniktegomno»eniazapisa¢jako:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl