MADP wyklad10, automatyka i robotyka, fizyka, metoda analizy danych pomiarowych

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych.
Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną rozkładem
Gaussa i przyjmijmy, że jest to rozkład N(
), to własności rozkładu mogą być pomocne w
sformułowaniu kryterium odrzucania wyników obarczonych błędem grubym.
P
(
µ,σ
µ
–
1σ
<
x
<
µ + 1σ
) = 0.6827
P
(
µ
- 2
<
x
<
µ + 2σ
) = 0.9545
P
(
µ
- 3
<
x
<
µ + 3σ
) = 0.9973
Jeżeli jako oszacowanie
µ
przyjmiemy
x
sr
, a jako
oszacowanie
0.5
0.5
– odchylenie
standardowe pojedynczego
pomiaru
s
to możemy przyjąć,
że odrzucamy taki pomiar
x
,
dla którego
|
x – x
sr
| >= 3·
s
Gdyż prawdopodobieństwo
tego, że taka wartość pojawi się
przypadkowo w serii pomiarów
o dyspersji s jest bardzo małe
(równe 0.0027).
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
µ − 3σ µ − 2σ µ − 1σ
µ
µ
µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σ
Zmienna losowa x (np. wynik pomiaru)
Zmienna losowa x (np. wynik pomiaru)
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 10
1
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ
W wielu przypadkach informacja o wyniku pomiarów nie jest wystarczająca – potrzebna
jest jeszcze wiedza o tym, z jakim prawdopodobieństwem wartość prawdziwa mieści się
w określonym przedziale wokół wyniku pomiarów.
Przedział taki nazywamy przedziałem ufności, a prawdopodobieństwo, że wartość
prawdziwa mieści się w tym przedziale - poziomem ufności. Określonemu poziomowi
ufności
odpowiada wiele możliwych przedziałów ufności. W przypadku rozkładu
Gaussa przedział ufności definiuje się zazwyczaj tak, aby był symetryczny względem
wartości oczekiwanej (prawdziwej)
µ
.
µ
b
1
∫
f(x)dx
=
∫
f(x)dx
=
γ
2
a
µ
Przyjmijmy, że na podstawie serii
n
pomiarów
x
1
, ..., x
n
wyznaczamy wartość średnią
x
SR
,
rozkład wyników jest rozkładem normalnym N(
jest znana lub
przynajmniej dokładnie oszacowana w oparciu o wyniki pomiarów (tzn. seria liczy co
najmniej kilkanaście pomiarów).
Jeżeli zdefiniujemy nową zmienną losową
u
jako:
µ,σ
) a dyspersja rozkładu
x
SR
−
µ
u
=
σ/
n
to zmienna ta podlega rozkładowi Gaussa N(0,1).
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 10
2
Z własności rozkładu Gaussa:
x
−
µ
sr
P
(
−
1
≤
≤
1
=
0.6827
σ/
n
x
−
µ
sr
P
(
−
2
≤
≤
2)
=
0.9545
σ/
n
x
−
µ
sr
P
(
−
3
≤
≤
3)
=
0.9973
σ/
n
Przekształcając powyższe wyrażenie możemy zapisać:
P
[
(
x
−
(σ
/
n)
)
≤
µ
≤
(
x
+
(σ
/
n)
)
]
=
0
.
6827
sr
sr
P
[
(
x
−
2
·(σ(
/
n)
)
≤
µ
≤
(
x
+
2
·(σ
/
n)
)
]
=
0
.
9545
sr
sr
P
[
(
x
−
3
·(σ
/
n)
)
≤
µ
≤
(
x
+
3
·(σ
/
n)
)
]
=
0
.
9973
sr
sr
Wyrażenia te definiują przedziały ufności o poziomach ufności odpowiednio: 0.6827,
0.9545, 0.9973 .
Należy zwrócić uwagę na to, że chociaż wartość oczekiwana rozkładu (i odpowiadająca jej
wartość prawdziwa) nie jest zmienną losową, to mówimy o prawdopodobieństwie tego, iż
znajduje się ona w określonym przedziale. W tym przypadku, podobnie jak przy metodzie
największej wiarygodności, prawdopodobieństwo nie ma interpretacji częstościowej, lecz
jest miarą naszej wiedzy na temat wyznaczanej wielkości.
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 10
3
Rozkład Studenta
W praktyce najczęściej mamy jednak do czynienia z sytuacją, gdy dyspersja pomiarów nie
jest znana, a może być jedynie oszacowana na podstawie serii liczącej kilka wyników.
Wówczas jako estymator dyspersji przyjmuje się odchylenie standardowe pojedynczego
pomiaru
2
n
(
x
−
x
)
=
i
sr
s
=
x
n
−
1
i
1
W takim przypadku możemy w sposób analogiczny do zmiennej
u
zdefiniować zmienną
losową
t
:
x
−
µ
x
−
µ
SR
SR
t
=
=
s
/
n
s
x
xsr
jednakże zmienna ta nie podlega w ogólności rozkładowi Gaussa.
Rozkład prawdopodobieństwa, który opisuje zmienną
t
nosi nazwę rozkładu Studenta (nie
dlatego, że lubią go studenci lecz od pseudonimu angielskiego statystyka W.S. Gosseta,
który swoje prace tak właśnie podpisywał). Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla tego
rozkładu wyraża się wzorem:

+
ν
1

ν
+
1
Γ


−
2


t
2
2


f
(
t
,
ν
)
=
⋅
1
+

ν

ν


Γ
⋅
νπ


2
Parametr
nosi nazwę ilości stopni swobody, a funkcja gamma Eulera
(
x
) jest
uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych tzn.
(
x
) = (
x
-1)·
(
x
-1).
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 10
4
Krzywa przedstawiająca rozkład Studenta jest dla małych wartości stopnia swobody szersza od
krzywej Gaussa, jednakże już dla
= kilkanaście przyjmuje kształt bliski krzywej Gaussa.
0.45
Gaussa
S tudenta - 1 s topnień s wobody
S tudenta - 5 s topni s wobody
S tudenta - 15 s topni s wobody
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
t
Wartość oczekiwana rozkładu
E
(
t
) =0 , a wariancja istnieje tylko dla
> 2 i wynosi
ν
V(t)
=
ν
−
2
Trzeba podkreślić, iż z powyższego faktu wynika, że dla rozkładu Studenta o małych
wartościach
odchylenie standardowe nie jest dobrym estymatorem dyspersji.
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 10
5
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • mement.xlx.pl

    • Tematy