matura probna rozwiazania

matura probna rozwiazania, matura matematyka, WUM

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Zadanie 1.(2pkt)Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistychaibprawdziwa jestnierówność 4(a2+b2)>8ab−2.Rozwiązanie:4a2+4b2>8ab−24a−8ab+4b +2>0(2a−2b) +2>0222Doszliśmy do nierówności, która jest równoważna z pierwszą nierównością.Wiemy, że kwadrat każdej liczby jest większy bądź równy 0.Więc(2a−2b)2⩾0dla dowolnych a i b, a z tego wynika, że jak dodamy do tegowyrażenia liczbę dodatnią, to będzie ona zawsze silnie większa od 0.Zatem(2a−2b)2+2>0dla każdego a i b.Ostatnia nierówność jest zawsze prawdziwa, więc pierwsza, równoważna, też musibyć zawsze spełniona.c.n.d1 punkt:dokonanie istotnego przekształcenia wyrażenia.2 punkty:pełny dowód.Zadanie 2.(2 pkt)236: 3−21Porównaj liczbyxiy, gdyx=⋅orazy=(4√3+5)+7−40√3.27 27√Odpowiedź uzasadnij.Rozwiązanie:3838 2x=3 3=6=3 =9=√81,3⋅33y=√16⋅3+2⋅4⋅5√3+25+7−40√3=√48+40√3+32−40√3=√80.Porównujemy liczby: x>y.1 punkt:obliczenie x lub y.2 punkty:rozwiązanie całego zadania.Zadanie 3.(2 pkt)PunktA=(4 ;2)należy do wykresu funkcjif(x )=logax.a) Oblicza.b) Podaj wzór funkcjig(x), której wykres powstaje przez przesunięcie wykresufunkcjif(x)o dwie jednostki w lewo.Rozwiązanie:a) Skoro punkt A należy do wykresu funkcji, współrzędne tego punktu musząspełniać równanie funkcji, czyli:loga4=2przy założeniu, żea>0ia≠1.Z definicji logarytmu dostajemy:a2=4czylia=2luba=−2.Z założeń otrzymujemy jedno rozwiązaniea=2.b) Funkcję przesuwamy o dwie jednostki w lewo więc we wzorze musimy dodać dox 2:g(x)=log2(x+2).1 punkt:podpunkt a.1 punkt:podpunkt b.Zadanie 4.(2 pkt)Dwie części do samochodu kosztowały razem 1000 złotych. Po pewnym czasiezwiększono cenę pierwszej z nich o 30%, jednocześnie przeceniając drugą o 96złotych. Okazało się, że obie części razem nadal kosztują 1000 złotych. Ilekosztowała każda z części na początku?Rozwiązanie:x- pierwsza część samochoduy- druga część samochodux+y- cena obu części1000 zł- cena obu części1,3x- cena pierwszej części po podwyżcey-96- cena drugiej częsci po przecenie1,3x+y-96- cena obu części po zmianie cen1000 zł- cena obu części po zmianie cenRozwiązujemy układ równań:{{x+ y=10001,3x+ y−96=1000x+ y=1000odejmując równania stronami:1,3x+ y=10960,3x=96czylix=320 zł.Podstawiając uzyskany x do pierwszego równania:y=1000−320=680 zł.Odpowiedź: Ceny części na początku wynosiły 320 oraz 680 zł.1 punkt:stworzenie układu równań.2 punkty:rozwiązanie zadania.Zadanie 5.(4 pkt)W rombie ABCD, o kącie ostrym przy wierzchołku A, przekątna BD jest dwa razykrótsza, niż przekątna AC. Wyznacz sinus kąta, jaki tworzy przedłużenie boku ABz bokiem BC rombu.Rozwiązanie:x - mniejsza przekątna rombu2x - większa przekątna rombua - bok rombuh - wysokość rombuα - kąt między przedłużeniem boku AB a bokiem BCsin α=?Zauważmy, że przekątne w rombie przecinają się w połowach pod kątem prostym,więc z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć bok a:2x2x2 2( ) +( ) =a22x2x+ =a2425x2czylia= x√5.a=242Obliczmy pole rombu ze wzoru na iloczyn przekątnych:P=2x⋅x=x22Z drugiej strony pole rombu to iloczyn boku i wysokości:P=a⋅hDostajemy równanie, z którego wyliczamy wysokość h:x√52⋅h=x2h=22 5x, pozbywając się niewymierności z mianownika mamy:h=√x.5√5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl