Matematyka - tablice

Matematyka - tablice, Matura próbna z operonem 2009-2010

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ZESTAW WYBRANYCH
WZORÓW MATEMATYCZNYCH
DLA ARKUSZA PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO
Ciàgi
Trygonometria
Ciàg arytmetyczny
Wzór na
n
-ty wyraz ciàgu arytmetycznego
a an r
Funkcje trygonometryczne
Funkcja
Okres
zmiennej
D
f
=+ -
^ h
1
f
podstawowy
n
rzeczywistej
sin
Suma
n
poczàtkowych wyrazów ciàgu arytmetycznego
Saa
fx
^h
=
x
R
-
11
2r
=+ + + +
-
f
a a
fx
^h
=
cos
x
R
-
11
2r
n
1
2
n
1
n
r
fx
^h
=
tg
x
R
&
xx
=+
k ik
r
!
C
0
R
r
2
Wzór na sum´
n
poczàtkowych wyrazów ciàgu arytmetycznego
^
aa n an r n
2
+
h
$
7
2
+-
^
1
h
A
$
fx
^h
=
ctg
x
R
"
xx k ik
= r
$
!
C
,
R
r
S
=
1
n
=
1
2
n
Zwiàzki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kàta
sin
2
a a
(jedynka trygonometryczna)
+
cos
2
=
1
W∏asnoÊci ciàgu arytmetycznego
a
+
a
a
+
a
dla
<
kn
tg
a
=
cos
sin
a
=
1
a
,
gdy
cos
a
i
sin
!
0
a
!
0
a
=
n
-
1
n
+
1
=
n k
-
n k
+
0
i
n
2
H
ctg
n
2
2
cos
a
1
ctg
a
=
=
a
,
gdy
sin
a
i
cos
!
0
a
!
0
MonotonicznoÊç:
ciàg jest rosnàcy, gdy
>
sin
a
tg
r
0
;
ciàg jest malejàcy, gdy
<
tg ctg
aa
, gdy
sin
$
=
1
a
i
cos
!
0
a
!
0
r
0
;
Funkcje podwojonego kàta
sin
22
a
=
sin cos
a a
ciàg jest sta∏y, gdy
r
0
=
.
cos
2
a a a
=
cos
2
-
sin
2
= -
1 2
sin
2
a
=
2
cos
2
a
-
1
Ciàg geometryczny
Wzór na
n
–ty wyraz ciàgu geometrycznego
Funkcje trygonometryczne sumy i ró˝nicy kàtów
sin
^ h
ab a b a b
+=
sin cos
+
cos sin
a aq
n
=
$
n
-
1
, dla
n
2
H
cos
^ h
ab a b a b
+=
cos cos
-
sin sin
1
Suma
n
poczàtkowych wyrazów ciàgu geometrycznego
Saa
sin
^ h
ab a b a b
-=
sin cos
-
cos sin
=+ + + +
-
f
a a
cos
^ h
ab a b a b
-=
cos cos
+
sin sin
n
1
2
n
1
n
ParzystoÊç i nieparzystoÊç funkcji trygonometrycznych
sin
Wzór na sum´
n
poczàtkowych wyrazów ciàgu geometrycznego
^h
-=-
x
sin
x
cos
^h
-=
x
cos
x
Z
]
]
na q
$
,
gdy
=
1
^h
Tabela znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych çwiartkach
^h
-=-
x
tg
x
ctg
-=-
x
ctg
x
S
=
[
a
a k
1
-
q
n
n
1
q
!
1
,
gdy
1
-
q
I
II
III
IV
\
sin a
+
+
–
–
W∏asnoÊci ciàgu geometrycznego
cos a
+
–
–
+
, dla
<
kn
a
n
=
a
n
+
1
$
a
n
-
1
=
a
n k
+
$
a
n k
-
0
i
n
2
H
tg a
+
–
+
–
MonotonicznoÊç:
ctg a
+
–
+
–
ciàg jest rosnàcy, gdy (
>
q
1
i
>
a
0
1
) lub (
q
01
!
^
i
<
;
a
0
1
)
Tabela wartoÊci funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kàta
ciàg jest malejàcy, gdy (
>
q
1
i
<
a
0
1
) lub (
q
01
!
^
i
>
;
a
0
1
)
0
r
r
r
r
6
4
3
2
x
ciàg jest sta∏y, gdy
q
1
=
lub
a
0
1
=
0
c
30
c
45
c
60
c
90
c
Procent sk∏adany
Je˝eli kapita∏ poczàtkowy
k
z∏o˝ymy w banku na
n
lat, a oprocentowanie
lokat wynosi
p
w skali roku, to kapita∏ koƒcowy
k
n
mo˝na obliczyç
za pomocà wzoru:
sin
x
0
1
2
2
3
1
cos
x
1
2
3
2
2
1
0
3
p
n
tg
x
0
1
3
nie istn.
kk
=+
d
1
n
3
n
100
3
ctg
x
nie istn.
3
1
0
3
tg
2
2
2
Geometria analityczna
Równoleg∏obok:
Pah
a
=
$
D
a
C
Odcinek
D∏ugoÊç odcinka o koƒcach w punktach
;
Y
B =
(
x
B
;
y
B
)
Pa
= a
sin
b
h
a
{
b
AC
2
$
BD
A
=
^ h
,
x
AA
Bx
BB
=
^ h
dana jest wzorem:
;
a
P
=
sin
{
A
a
B
2
2
AB
=
^
x x
-
h
+
^
y y
-
h
.
Obw
.
=+
22
a
b
B
A
B
A
Wspó∏rz´dne Êrodka odcinka
AB
:
A =
(
x
A
;
y
A
)
Trapez:
P
xxyy
2
+
+
D
b
C
ab
h
2
+
e
A
B
;
A
B
o
.
=
$
O
2
X
a
c
h
a
d
ab
c
2
+
P
=
$
sin
a
a
Prosta
Równanie ogólne prostej:
Ax By C
0
Obw a b c d
.
=+++
A
a
B
++=
,
Y
+
(tj. wspó∏czynniki
A
,
B
nie sà
równoczeÊnie równe
0
).
Je˝eli prosta nie jest równoleg∏a do osi
OY
, to
ma ona równanie kierunkowe:
y xb
2
2
!
y = ax + b
Deltoid:
b
D
A
C
AC
2
$
BD
b
b
P
=
D
b
b
A
C
a
a
Obw
.
=+
22
a
b
=+
Liczba
a
to wspó∏czynnik kierunkowy prostej:
a
t= a
.
Prosta przechodzàca przez dwa dane punkty
a
a
a
O
X
B
B
=
^ h
jest wyra˝ona równaniem:
yy x x y y xx
0
A
Ax
AA
=
^ h
,
;
Bx
BB
;
Ko∏o:
Pr
2
^ ^
-
h
B
-
A
h
-
^
B
-
A
h h
^
-
A
=
.
= r
.
r
Obw
= r
(d∏ugoÊç okr´gu)
r
S
Prosta i punkt
Odleg∏oÊç punktu
Px
00
=
^ h
od prostej o równaniu
Ax By C
0
;
++=
dana jest wzorem:
Ax By C
2
++
.
Twierdzenie o wykonalnoÊci
Dla okr´gu wpisanego w czworokàt (wielokàt):
AD
0
0
D
AB
+
2
+ = +
(sumy d∏ugoÊci przeciwleg∏ych boków sà
równe).
BC
AB
DC
Para prostych
Dwie proste, o równaniach kierunkowych
yaxb
1
=+
i
yaxb
2
=+
A
S
r
C
1
2
1
=
,
– sà prostopad∏e, gdy
aa
1
12
=-
.
B
++=
to odpowiednio:
– sà równoleg∏e, gdy
AB A B
0
++=
,
Ax By C
0
2
Dla okr´gu opisanego na czworokàcie (wielokàcie):
ACBD
180
D
1
1
2
2
+=+
^ h
(sumy miar przeciwleg∏ych kàtów sà równe).
]]]] c
12 2
- =
,
– sà prostopad∏e, gdy
AA BB
0
12 12
+=
.
A
C
S
r
Równanie okr´gu
Równanie okr´gu o Êrodku w punkcie
a
^
B
i promieniu
r
:
^
xa yb r
2 2 2
-+-=
h
^
h
lub
x y
2
2
+- - +=
,
22 0
ax
by c
Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów
Dany jest trójkàt:
a)
Twierdzenie sinusów (Snelliusa):
Stosunek d∏ugoÊci boków do sinusów kà-
tów przeciwleg∏ych jest sta∏y i równy
Êrednicy okr´gu opisanego na trójkàcie:
gdzie
ca b r
0
2 2 2
=+-
.
>
C
c
a
Rachunek wektorowy
JeÊli
b
Ax
11
=
^ h
,
,
Bx
22
=
^ h
oraz
k
R
,
!
, to
a
b
A
B
a
b
c
c
ABxxyy xy
2
=- -=
,
,
kAB kxky
$
=
6 @
,
=
=
=
2
R
7
A
6
@
,
sin
a
b
c
sin
sin
1
2
1
JeÊli
AB a b
=
6 @
,
,
CD c d
=
6 @
,
,
b)
Twierdzenie cosinusów (Carnota):
Kwadrat d∏ugoÊci dowolnego boku jest równy sumie kwadratów d∏ugoÊci
pozosta∏ych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn d∏ugoÊci tych bo-
to
AB CD a c b d
+=+ +
6
,
@
,
AB CD a c b d
-=- -
6
,
@
Z
]
]
abc c
bac c
cab ab
2
=+-
=+-
=+-
2
2
2
2
2
cos
cos
cos
a
b
c
Planimetria
2
2
2
ków i cosinusa kàta zawartego mi´dzy nimi:
[
2
2
2
Pola i obwody wybranych figur p∏askich
\
1
Oznaczenia:
P
– pole powierzchni,
Obw
– obwód,
.
p
=
2
Obw
.
Twierdzenie Pitagorasa
Trójkàt:
C
P
=
ch
2
$
c
C
b
a
c
a
h
c
1
P
=
bc
$
sin
a
b
h
c
2
a
b
a
b
A
c
B
P
=
pp a p b p c
_ _ _
-
i i i
-
-
A
c
B
P rp
=
(
r
– promieƒ okr´gu wpisanego w trójkàt)
Suma kwadratów d∏ugoÊci przyprostokàtnych jest równa kwadratowi d∏u-
goÊci przeciwprostokàtnej:
P
=
abc
4
(
R
– promieƒ okr´gu opisanego na trójkàcie)
R
2
2 2
+=
abc
Obw a b c
.
=++
gdzie
AB
0
– sà równoleg∏e, gdy
aa
Je˝eli proste dane sà równaniami w postaci ogólnej:
A xByC
0
1
Stereometria
Rachunek algebraiczny
Oznaczenia
P
– pole powierzchni ca∏kowitej
P
p
– pole podstawy
P
b
– pole powierzchni bocznej
V
– obj´toÊç
WartoÊç bezwzgl´dna liczby
WartoÊç bezwzgl´dnà liczby rzeczywistej
x
definiujemy wzorem:
x
=
*
x
dla
dla
x
H
0
.
-
x
x
<
0
Liczba
x
jest to odleg∏oÊç na osi liczbowej punktu
x
od punktu
0
.
W szczególnoÊci:
x
0
-=
.
Dla dowolnych liczb
x
,
y
mamy:
xy x y
H
,
xx
Prostopad∏oÊcian
P
H
G
=
2
^
ab bc ac
+ +
h
E
+
G
+
,
xy x y
-
G
+
,
xy x y
$
=
$
.
F
V ab
=
,
gdzie
a
,
b
,
c
sà d∏ugoÊciami kraw´dzi
prostopad∏oÊcianu.
=
.
x
c
Ponadto, jeÊli
y
0
!
, to
y
D
C
Pot´gi i pierwiastki
Niech
n
b´dzie liczbà ca∏kowità dodatnià. Dla dowolnej liczby
a
definiujemy jej
n
-tà pot´g´:
b
A
a
B
n
aa a
=
\
.
n
raz
$ $
f
Graniastos∏up prosty
P
=
V Ph
p
2
ph
$
J
I
Pierwiastkiem arytmetycznym
n
stopnia
n
z liczby
a
0
H
nazywamy
b
n
=
.
Je˝eli
a
0
oraz liczba
n
jest nieparzysta, to
n
oznacza liczb´
b
takà,
˝e
ba
=
,
gdzie
2
jest obwodem podstawy
graniastos∏upa.
H
F
G
=
.
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniejà.
n
h
D
E
Niech
m
,
n
b´dà liczbami ca∏kowitymi dodatnimi. Definiujemy:
C
dla
a
0
!
:
a
-
n
=
1
oraz
a
1
0
=
,
n
A
a
m
m
B
a
m
, dla
a
0
:
a
-
1
m
dla
a
0
H
:
a
n
=
n
n
=
.
n
a
Ostros∏up
S
Niech
r
,
s
b´dà dowolnymi liczbami rzeczywistymi. JeÊli
a
0
i
b
0
, to
zachodzà równoÊci:
1
V
=
Ph
$
,
3
p
gdzie
h
jest wysokoÊcià ostros∏upa.
r
s
r s
+
r
s
=
$
rs
a
r
rs
-
a aa
$
=
ak
a
a
=
a
h
,
,
s
,
a
E
r
r
D
a
a
r
r
r
ab a b
$
=
$
=
^ h
bl
,
.
C
b
r
b
A
Je˝eli wyk∏adniki
r
,
s
sà liczbami ca∏kowitymi, to powy˝sze wzory
obowiàzujà dla wszystkich liczb
a
0
B
!
,
b
0
!
.
Walec
P
b
= r
2
rh
Wzory skróconego mno˝enia
Z dwumianu Newtona dla
n
=
oraz
n
=
otrzymujemy dla dowolnych
liczb
a
,
b
:
ab a bb
P
=
2
r
^ h
rr h
+
= r
,
gdzie
r
jest promieniem podstawy,
h
wysokoÊcià walca.
r
2
h
^ h
2 2 2
+=+ +
2
,
^ h
ab a ab b b
3 3 2 2 3
+=+ + +
3
3
,
ab a bb
2 2 2
-=- +
2
,
^ h
ab a ab b b
3 3 2 2 3
-=- + -
3
3
.
O
r
2
2
-= - +
3
3 2 2
-= - + +
a babab
^ h h
,
a b aba bb
^
a
h
k
,
Sto˝ek
P
a b
3 2 2
+= + - +
a b a ab b
h
k
S
b
= r
rl
P
=
r
^ h
rr l
+
Logarytmy
1
2
l
= r
,
gdzie
r
jest promieniem podstawy,
h
– wysokoÊcià,
l
– d∏ugoÊcià tworzàcej sto˝ka.
3
rh
h
Prawa dzia∏aƒ na logarytmach
log
O
r
a
^ h
bb
12
$
=
log
a
b
1
+
log
a
b
2
, gdy
b
1
,
b
R
2
!
+
i
a
R
1
!
+
",
b
log
1
=
log
b
-
log
b
, gdy
b
1
,
b
R
2
!
+
i
a
R
1
!
+
",
a
b
a
1
a
2
2
Kula
P
m
log
bm b
=
$
log
, gdy
b
!
+
,
a
R
1
!
+
",
i
m
R
!
2
a
a
= r
4
r
1
log
b
=
log
b
, gdy
b
!
+
,
a
R
1
!
+
",
i
n
N
01
!
",
,
4
3
= r
,
gdzie
r
jest promieniem kuli.
r
n
n
V
r
a
a
3
O
log
b
log
b
=
c
, gdy
b
!
+
i
a
,
c
R
1
!
+
",
a
log
a
c
1
log
b
=
, gdy
a
,
b
R
1
!
+
",
a
log
a
b
liczb´
b
takà, ˝e
ba
V
^ h
3
^
a
V
Kombinatoryka
Funkcje
Permutacje
Liczba sposobów, w jaki
n
1
Funkcja i jej w∏asnoÊci
H
elementów mo˝na ustawiç w ciàg, jest
Funkcja rosnàca:
x x fx fx
xx D
1
/
!
<
2
&
^ h h
1
<
2
równa
n
.
12
f
/
!
<
>
Funkcja malejàca:
xx f x f x
xx D
1
2
&
^ h h
1
2
12
f
Wariacje bez powtórzeƒ
Liczba sposobów, w jaki z
n
elementów mo˝na utworzyç ciàg, sk∏adajàcy
si´ z
k
/
Funkcja nierosnàca:
x x fx fx
xx D
1
2
&
^ h h
1
H
2
!
12
f
/
1
GG
k n
h
ró˝nych wyrazów, jest równa
Funkcja niemalejàca:
x x fx fx
xx D
1
2
&
^ h h
1
G
2
!
n
!
12
f
0/
nn
$
^
-
1
h
$ $
f
^
nk
- + =
1
h
h
.
fx M
Mx D
^h
G
^
nk
-
!
Funkcja ograniczona:
!!
R
f
/
Funkcja parzysta:
8
-
xD f x f x
!
f
/
^
- =
h h
B
Wariacje z powtórzeniami
Liczba sposobów, w jaki z
n
elementów mo˝na utworzyç ciàg, sk∏adajàcy
si´ z
k
niekoniecznie ró˝nych wyrazów, jest równa
n
k
.
xD
!
f
/
Funkcja nieparzysta:
8
-
xD f x f x
!
f
/
^
- = -
h
^
h
B
xD
!
f
Funkcja kwadratowa
a) Funkcja kwadratowa (inaczej: trójmian kwadratowy) jest to funkcja
postaci
y x xc
Kombinacje
Liczba sposobów, w jaki spoÊród
n
elementów mo˝na wybraç
#-
,
bc
!
.
Uwaga: Gdyby
a
=
, to funkcja by∏aby liniowa:
y xc
2
=++
,
x
R
!
,
a
R
0
!
n
k
k
^
0
GG
k n
h
elementów, jest równa
e
.
=+
.
2
=-
.
b) Wyró˝nik trójmianu kwadratowego to liczba
Δ
b c
4
c) Dziedzina i zbiór wartoÊci funkcji kwadratowej:
D
R
f
=
Rachunek prawdopodobieƒstwa
Z
Δ
>
]
]
-+
;
3
o
dla
a
0
4
a
Y
=
Klasyczna definicja prawdopodobieƒstwa
Niech
X
b´dzie skoƒczonym zbiorem wszystkich zdarzeƒ elementarnych.
Je˝eli zajÊcie ka˝dego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdo-
podobne, to prawdopodobieƒstwo zajÊcia zdarzenia
A
1 X
jest równe
[
W
Δ
<
d
--
3
;
4
a
dla
a
0
\
d) Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola:
A
PA
^h
=
,
X
Y
Y
gdzie
A
oznacza liczb´ elementów zbioru
A
, zaÊ
X
liczb´ elementów
zbioru
X
.
– ––
W
– ––
W
4
a
4
a
W∏asnoÊci prawdopodobieƒstwa
PA
– ––
lub
– ––
X
X
0
G
^h
G
1
dla ka˝dego zdarzenia
A
1 X
2
a
2
a
P
^h
,
X
– zdarzenie pewne
=
1
^h
,
Q
– zdarzenie niemo˝liwe (pusty podzbiór
X
)
PA PB
Q
=
0
dla
a
> 0
(ramiona ku górze)
dla
a
< 0
(ramiona w dó∏)
^ h h
, gdy
A
11X
PA B PA PB PA B
G
h h h h
dla dowolnych zdarzeƒ
AB
1 X
, zatem
PA B PA PB
^
,
=
^
+
^
-
^
+
^
,
h
G
+
^
h
^
h
dla dowolnych zdarzeƒ
Istnienie miejsc zerowych
Liczba miejsc zerowych
AB
1 X
.
Δ
>
0
Dwa miejsca zerowe
Istniejà.
x
1
=
--
b
Δ
;
x
2
=
-+
b
Δ
.
2
a
2
a
Zdarzenia niezale˝ne
Zdarzenia
A
1 X
i
B
1 X
sà niezale˝ne, gdy
PA B PA PB
^
+
h
=
^ ^
h h
.
Δ
=
0
Jedno miejsce zerowe
.
xx x
==
ozn
1
2
0
Prawdopodobieƒstwo warunkowe
Niech
AB
1 X
b´dà zdarzeniami, przy czym
x
0
=-
b
=
_i
p
>
2
a
PB
0
^h
.
PA
^ h
zajÊcia zdarzenia
A
pod warunkiem, ˝e zasz∏o zdarzenie
B
, nazywamy liczb´:
|
Δ
<
0
Nie istniejà.
˚adnych miejsc zerowych
PAB
^
|
h
=
PA B
^
+
h
.
PB
^
h
Wzory Vi¯te’a
Za∏o˝enie:
Δ
H
0
(istniejà miejsca zerowe)
Statystyka
Wówczas:
suma:
xx
+=-
, iloczyn:
xx
b
$
=
c
1
12
Elementy statystyki opisowej
Ârednia arytmetyczna zwyk∏a
n
liczb:
, , , ,
xx x x
n
123
f
to liczba:
xx x
1
+++ +
=
2
3
f
x
n
1
!
,
n
x
=
x
n
n
i
i
=
1
gdzie
x
i
– to
i
-ta obserwacja,
i
!
#
123
f
,,, ,
n
-
,
n
– liczba obserwacji.
^
P
$
Prawdopodobieƒstwem warunkowym
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl