Matematyka - Sem 2. Wykład - Całki Potrójne, OCE, Semestr II, Semestr II, Matematyka, Wyklady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
CAŁKI POTRÓJNE
CAŁKI PODWÓJNE PO PROSTOKĄCIE
Definicja 1
(
podział prostopadłoŚcianu
)
Podziałem prostopadłościanu
P
=
{(
x
,
y
,
z
)
:
a
£
x
£
b
,
c
£
y
£
d
,
p
£
z
£
q
}
nazywamy zbiór P prostopadłościanów
P
1
,
P
2
,...,
P
, które całkowicie wypełniają prostopadłościan
P
i mają parami rozłączne wnętrza.
Oznaczenia:
D
x
k
,
D
y
k
,
D
z
k
– wymiary prostopadłościanu
P
, gdzie
1
£
k
£
n
.

(
P
)
=
max{
(
D
x
k
)
2
+
(
D
y
k
)
2
+
(
D
z
k
)
2
:
1
£
k
£
n
}
– średnica
podziału P.
CAŁKA POTRÓJNA 2 / 26
Definicja 2
(
suma całkowa funkcji po prostopadłoŚcianie
)
Niech funkcja
f
będzie ograniczona na prostopadłościanie
P
oraz niech P
będzie
podziałem tego prostopadłościanu,
a
X
=
{(
*
1
,
*
1
,
z
*
1
),
(
x
*
2
,
y
*
2
,
z
*
2
),...,
(
x
*
,
y
*
,
z
*
),
}
zbiorem punktów
pośrednich.
Sumą całkową funkcji
f
odpowiadającą podziałowi P oraz
punktom pośrednim X nazywamy liczbę
∑
=
n
f
(
x
*
,
y
*
,
z
*
)
(
D
x
)(
D
y
)(
D
z
)
.
k
k
k
k
k
k
k
1
CAŁKA POTRÓJNA 3 / 26
x
y
n
n
n
Definicja 3
(
całka potrójna po prostopadłoŚcianie
)
Niech funkcja
f
będzie ograniczona na prostopadłościanie
P
.
Całkę potrójną z funkcji
f
po prostopadłościanie
P
oznaczoną
symbolem
∫∫
P
f
(
x
,
y
,
z
)
dV
definiujemy wzorem:
∫∫∫
∑
n
*
*
*
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
=
lim
f
(
x
,
y
,
z
)
(
D
x
)(
D
y
)(
D
z
)
,
k
k
k
k
k
k

(
P
)
®
0
k
=
1
P
o ile granica jest właściwa i nie zaleŜy od sposobu podziału
prostopadłościanu ani od sposobów wyboru punktów pośrednich.
Mówimy wtedy, Ŝe
f
jest całkowalna na prostopadłościanie
P
.
Fakt 1
Funkcja ciągła na prostopadłościanie jest na nim całkowalna.
CAŁKA POTRÓJNA 4 / 26
Twierdzenie 1
(
liniowoŚĆ całki
)
Niech
f
i
g
będą całkowalne na prostopadłościanie
P
oraz niech
b
∫∫∫
(
a
f
(
x
,
y
,
z
)
+
b
g
(
x
,
y
,
z
)
)
dV
=
a
∫∫∫
f
(
x
,
y
,
z
)
dV
+
b
∫∫∫
g
(
x
,
y
,
z
)
dV
P
P
P
.
Twierdzenie 2
(
addytywnoŚĆ całki wzglĘdem obszaru całkowania
)
JeŜeli funkcja
f
jest całkowalna na prostopadłościanie
P
, to dla
dowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany
P
1
,
P
2
o rozłącznych wnętrzach zachodzi
∫∫∫
f
(
x
,
y
,
z
)
dV
=
∫∫∫
f
(
x
,
y
,
z
)
dV
+
∫∫∫
f
(
x
,
y
,
z
)
dV
.
P
P
P
1
2
CAŁKA POTRÓJNA 5 / 26
a , będą liczbami rzeczywistymi. Wtedy
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • mement.xlx.pl

    • Tematy