Matematyka - klucz rozsz

Matematyka - klucz rozsz, Matura próbna z operonem 2011-2012

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI
Próbna Matura z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2011
W niniejszym schemacie oceniania zadań otwartych są prezentowane przykładowe poprawne odpowiedzi. W tego typu
zadaniach należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej sformułowane, ale ich sens jest zgodny z podanym
schematem, oraz inne poprawne odpowiedzi w nim nieprzewidziane.
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Liczba
punktów
1.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający zapisze równanie w postaci alternatywy.
lub
1 pkt
x
2--=
24
x
2--=-
2 4
x
216
-=
lub
x
2-=-
2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zauważy, że równanie
2 pkt
x
2-=-
2
jest sprzeczne.
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający rozwiąże równanie
3 pkt
x
216
-=
.
216
x
-=
lub
216
x
-=-
x
=
3,5
lub
x
=-
2,5
rozwiązanie pełne
Zdający wskaże ujemny pierwiastek:
4 pkt
x
=-
2,5
.
2.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający skorzysta z proporcjonalności boków prostokątów podobnych i rozważy
proporcję.
1 pkt
a
+
5
=
b
+
b
5
ab
( )
+= +
ba
( )
+=+
ab
5
ba
5
b
=
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zapisze drugą proporcję wynikającą z podobieństwa czworokątów i sprowadzi ją
do prostszej postaci.
2 pkt
a
=
b
b
+
5
a
+
5
a
2
+=+
550
5
a b
2
5
b
ab a b
2
-+-=
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający przekształci odpowiednio otrzymane wyrażenie, aby znaleźć zależność między
bokami , .
3 pkt
a
b
]
abab ab
-++-=
g
]
g
5
]
g
0
]
abab
5
-++=
g
g
0
lub
Warunek
=
a
+=-
5
a
+=-
5
nie może być spełniony, gdyż
ab
2
+
0
.
www.operon.pl
1
a
ab
ab
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Liczba
punktów
rozwiązanie pełne
Zdający stwierdzi, iż z równości
4 pkt
ab
=
wynika, że pierwszy prostokąt jest kwadratem.
Skoro
ab
=
, to
a
+=+
5
b
5
, zatem drugi prostokąt też jest kwadratem.
3.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający zauważy, że aby wyrażenie
2
x
1
tg
miało sens, to
tg !
x
0
dla
xk
! r
oraz
x
!
r
2
+
k
r
(tangens jest wtedy określony).
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający wykorzysta własność kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego – zapisze
odpowiedni warunek i przekształci go tak, aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko
jedną funkcję trygonometryczną.
Np.:
2 pkt
cos
2
x
=
sin
x
$
2
1
tg
x
cos
2
x
=
sin
x
$
1
2
sin
x
cos
x
2cos cos
2
x
=
x
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający przedstawi równanie w formie alternatywy.
lub
3 pkt
cos
x
0
= cos
x
2
-=
1 0
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający rozwiąże uzyskane równania.
4 pkt
x
=+
r
k
r
lub
x
=- +
r
2
k
r
lub
x
=+
r
2
k
r
, gdzie
kC
!
2
3
3
rozwiązanie pełne
Zdający wybierze spośród uzyskanych rozwiązań właściwe i zapisze odpowiedź.
5 pkt
x
=+
r
2
k
r
lub
x
=- +
r
2
k
r
, gdzie
kC
!
3
3
4.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający wykorzysta wzór na zamianę podstawy logarytmu i zapisze nierówność w postaci
.
1 pkt
log
2
]
r
a
g
+ +
log
2
]
r
a
g
H
2
log
(
r
+ -
a
)
1
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zapisze nierówność w równoważnej postaci
,
aby wykazać, że lewa strona nierówności jest większa bądź równa zero.
2 pkt
log
2
]
r
a
g
+ + - + +
log
2
]
r
a
g
2
log
(
r
a
)
1 0
H
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zapisze lewą stronę nierówności w postaci sumy kwadratów dwóch wyrażeń
.
3 pkt
6
log
]
r
a
g
@
2
+
6
log
]
r+-
a
1
g
@
2
rozwiązanie pełne
Zdający zauważy, że suma kwadratów dwóch liczb jest zawsze liczbą nieujemną i wyprowadzi
stąd wniosek, że
4 pkt
6
log
]
r
a
g
@
2
+
6
log
]
r+-
a
1
g
@
2
H
0
.
www.operon.pl
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Liczba
punktów
5.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający znajdzie współrzędne punktu jako współrzędne wierzchołka paraboli.
1 pkt
C
x
==
2
3
,
y
=- =-
9 8 9
C
39
=-
]
,
g
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zauważy, że punkty , leżą na prostych przechodzących przez punkt oraz
nachylonych do osi pod kątem odpowiednio i (jako wierzchołki trójkąta
równobocznego) i określi, że szuka np. współrzędnych punktu leżącego na prostej
nachylonej do osi
2 pkt
A
B
C
OX
60°
120°
A
p
OX
pod kątem
60°
.
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający znajdzie równanie prostej .
3 pkt
p
y
=+
3
x b
-= +
b
933
933
b
=- -
y
=--
3
x
93
3
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający znajdzie pierwszą współrzędną punktu , wykorzystując fakt, że punkt leży na
paraboli i prostej .
4 pkt
A
p
x
2
-= --
(6
6
x
3
x
9 3
3
xx
2
-+++=
3
3
) 9 3
3
0
D =
lub
Zdający zauważy, że liczba to pierwsza współrzędna punktu , zatem w dalszych
3
x
=+
3
3
3
C
rozważaniach uwzględni liczbę
33
+
.
rozwiązanie pełne
Zdający znajdzie drugą współrzędną punktu .
5 pkt
A
y
33
=
^
2
33
+
h
- + =-
6
^
h
6
Zdający poda obie współrzędne punktu .
A
A
336
=+ -
^
,
h
6.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
1 pkt
C
h
x
Zdający obliczy długość połowy przekątnej podstawy.
1
da
=
2
A
2
a
2
a
2
d
B
www.operon.pl
3
x
=
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Liczba
punktów
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zauważy, że trójkąt
2 pkt
ABC
jest prostokątny i obliczy długość odcinka .
x
x
=
tg
a
a
2
xa
2tg
=
$
a
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający obliczy wysokość graniastosłupa.
ha x
3 pkt
2
+ =
^
2
h
2
2
h
=
2
a
t
22 2
a
-
2
a
rozwiązanie pełne
Zdający obliczy objętość graniastosłupa.
V
4 pkt
=
]g
2
2
$
2
a
22 2 2 2 3 2
tg
a
- =
2 4
a a
$
2
$
tg
a
1 4 2
$
a
$
tg
a
-
1
7.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający określi liczbę zdarzeń elementarnych – liczbę sposobów wyboru spośród piosenek.
1 pkt
4
20
X =
17 18 19 20
$
$
$
$
=
4845
1234
$
$
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający rozważy zdarzenie przeciwne – uczestnik wysłuchał piosenek spośród ,
których nie zna, i określi liczbę zdarzeń sprzyjających.
2 pkt
4
8
A
=
5678
$
$
$
$
=
70
1234
$
$
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
3 pkt
PA
()
=
4845
70
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający obliczy prawdopodobieństwo rozważanego zdarzenia.
4 pkt
PB
() 1
4775
=- =
4845
70
4845
rozwiązanie pełne
Zdający podaje wynik z żądaną dokładnością.
( ) 0,9855... 0,99
5 pkt
PB
=
.
8.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający znajdzie współrzędne punktu przecięcia prostych.
1 pkt
y
=-
x
*
yxk
=+
-=+
xxk
x
=-
k
2
,
y
=
k
2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający skorzysta z tego, że punkt przecięcia prostych musi należeć do koła i przekształci
uzyskaną nierówność do najprostszej postaci.
2 pkt
b
k
l
2
b
k
l
2
1
-
+
1
+
2
G
10
2
k
16
2
G
www.operon.pl
4
a
- =
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Liczba
punktów
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zapisze uzyskaną nierówność w postaci
3 pkt
(
k
-+
4
) (
k
4 0
G
(zdający może
zaznaczyć te liczby na rysunku).
rozwiązanie pełne
Zdający podaje rozwiązanie.
,
4 pkt
k
44
! -
9.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający znajdzie współczynniki wielomianu, korzystając z tego, że liczby
1 pkt
-
1
, są
pierwiastkami wielomianu.
-+-+=
1
ab
6 0
*
84 2 60
+++=
ab
a
=-
4
,
b
=
1
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający znajdzie trzeci pierwiastek wielomianu , stosując
twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
2 pkt
Wx x
() 4 6
=-++
3
x x
2
W
=-++=
3
) 7 6360
x
=
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zapisze wielomian oraz nierówność w postaci iloczynowej.
()
3 pkt
Wx
=+--
]
x
1 2 3
g
]
x
g
]
x
g
]
x
+--
1 2 3 >
g
]
x
g
]
x
g
0
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający określi przedziały (może zaznaczyć je np. na osi liczbowej), w których będzie
poszukiwał wartości dodatnich wyrażenia
4 pkt
]
x
+--
1 2 3
g
]
x
g
]
x
g
.
1.
]
--
, 1
g
2.
-
12
h
3.
23
h
3,
3
4.
h
rozwiązanie do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności
rozwiązania (np. błędy rachunkowe)
Np. źle zaznaczone końce jednego z przedziałów; błędne obliczenie jednego z pierwiastków
wielomianu; błąd w obliczeniu współczynników wielomianu.
5 pkt
rozwiązanie pełne
Zdający określi, kiedy rozpatrywane wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie (np. za
pomocą siatki znaków albo odpowiedniego „wężyka”) i zapisze odpowiedź.
,
6 pkt
x
12 ,
3
!
]
g
]
,
g
10.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający rozważy przypadek, gdy analizowane równanie jest równaniem liniowym.
10
1 pkt
m
-=
1
m
=
4140
x
++=
x
=-
4
www.operon.pl
5
)
2
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl