MARZEC 2008 klucz, matura matematyka, arkusze maturalne matematyka rozszerzona

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
1
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA – ZESTAW NR 2
POZIOM ROZSZERZONY
Etapy rozwiązania zadania
Uwagi
1.1
+ = lub: zapisanie poszukiwanych liczb z użyciem jednej zmiennej:
x
, 3
x
,
13 4
x
13
1
− .
Zapisanie sumy kwadratów poszukiwanych liczb:
Sx x y
= + + lub
2
(
2
2
1.2
1
Sx x
=+ + −
(
2
3
(13 4 )
x
2
1
Zapisanie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcji jednej zmiennej:
Zdający nie musi wyznaczyć
dziedziny funkcji, o ile
przeprowadzi rozwiązanie do
końca i otrzyma trzy dodatnie
liczby.
⎛ ⎞
13
1.3
1
() 2 8 13
=−+ gdy
2
x
⎝ ⎠
.
4
Obliczenie argumentu, dla którego funkcja
S
przyjmuje wartość najmniejszą:
x
=
2
1.4
x
∈
⎜ ⎟
⎝ ⎠
więc funkcja
S
osiąga najmniejszą wartość dla
0,
13
x
=
2
.
1
4
1.5
Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
1
Wprowadzenie oznaczeń:
x
, 3
x
,
y
– poszukiwane liczby i zapisanie równania:
4
xy
3
2
Sx x x
∈
⎜ ⎟
0,
i
⎛ ⎞
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
2
Sporządzenie wykresu funkcji
g.
7
y
g
f
6
5
4
3
2
1
2.1
x
1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
2
-3
-4
-5
-6
-7
2.2
Zapisanie podstawy
a
lub wzoru funkcji
f
:
a
= lub
1
2
x
fx
⎛⎞
()
1
2
=
⎜
⎝⎠
.
1
−
⎛
⎞
1
x
2
2.3
Zapisanie wzoru funkcji
g
:
gx
()
= −
⎜
⎝⎠
1
.
1
2
2.4
Podanie wszystkich argumentów, dla których
gx
>
:
( )
0
x
∈−∞
.
( )
,2
1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
3
3.1
Wykorzystanie definicji rozwiązania równania lub twierdzenia o pierwiastkach
wielomianu i zapisanie równania z niewiadomą
m
:
1
3
+ ⋅ − ⋅ −=.
3
1
2
2
1 1 0
1
3.2
Obliczenie wszystkich wartości
m
, dla których liczba 1 jest rozwiązaniem równania
(pierwiastkiem wielomianu):
m
= lub
0
m
= .
1
1
Uzasadnienie, że dla
m
= równanie ma tylko jedno rozwiązanie
0
x
= (wielomian
1
ma tylko jeden pierwiastek), np. dla
m
= równanie ma postać
0
3.3
1
x
3
− =− ++=, a trójmian
1
( )
(
x
1
x x
2
1 0
)
x x
2
+ + nie ma pierwiastków.
1
m
= równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian
ma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla
1
3.4
m
= równanie ma postać
1
1
( ) ( )
x
+ −=, co oznacza, że liczba
(
− też jest jego rozwiązaniem.
1
2
x
1 0
3
3.1
II sposób rozwiązania:
czynność 3.1, 3.2
Zapisanie równania w postaci iloczynu, np.
( )(
x
− ++= i wykonanie
1
x bx c
2
)
0
1
mnożenia
xb xcbxc
3
+− +− −=.
( ) ( )
1
2
0
3.2
Zastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków:
1
b
=+ i
2
1
bm
= + oraz rozwiązanie równania
3
1
mm
3
+ =+:
1
2
1
m
= lub
0
1
m
= .
1
3.1
III sposób rozwiązania:
czynność 3.1, 3.2
Wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia
wielomianu
W
przez dwumian ( 1
x
−
:
1
W
( )( )
x
=
x
−
1
(
x
2
+
( )
3
+
1
x
+
m
3
−
m
2
+
1
) ( )
+
m
3
−
m
2
,
3.2
Skorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie
m
:
0
3
−
m
2
=
stąd
m
= lub
0
m
= .
1
1
mm
Uzasadnienie, że dla
c
= ,
m
m
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
4
4
4.1
Wykorzystanie w analizie zadania własności: promień okręgu jest prostopadły do
stycznej w punkcie styczności.
1
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt
B
i prostopadłej do prostej
4.2
o równaniu
y
=+:
9
y
= −−.
x
1
2
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt
A
i prostopadłej do prostej
4.3
o równaniu
y
=−:
y
= −+.
1
x
2
1
2
1
Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych
y
= −+ i
x
2
y
= −−,
4.4
2
1
który jest środkiem okręgu stycznego do danych prostych:
S
=− .
( )
2,3
4.5
Obliczenie promienia szukanego okręgu:
=== .
25
1
Jeśli zdający nie zapisał w
punkcie 4.1 własności:
promień okręgu jest
prostopadły do stycznej w
punkcie styczności, ale z niej
skorzystał w rozwiązaniu, to
przyznajemy punkt w
czynności 4.1.
1
2 1
2 3
2 1
x
rAB
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
5
II sposób rozwiązania:
y
14
13
W
12
11
10
9
8
B
7
4.1
6
1
5
P
4
3
S
2
1
A
x
Wykorzystanie własności – środek okręgu leży na symetralnej odcinka
AB
.
Obliczenie współrzędnych punktów
W
– przecięcia się danych prostych
oraz
P
– środka odcinka
AB
:
( )
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
W
= ,
8,13
P
=− .
( )
1, 4
4.2
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty
W
oraz
P
(symetralnej
odcinka
AB
):
y
=+.
5
1
4.3
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt
B
i prostopadłej do prostej,
na której leży ten punkt (lub prostej przechodzącej przez punkt
A
i prostopadłej do
1
1
prostej, na której leży ten punkt):
y
= −− lub
2 1
x
y
= −+.
x
2
2
4.4
Obliczenie współrzędnych środka okręgu:
S
=− .
( )
2, 3
1
4.5
Obliczenie promienia okręgu:
rAB
=== .
25
1
-6
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • mement.xlx.pl

    • Tematy