Martyngały-2011--Osekowski-

Martyngały-2011--Osekowski-, RP II

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->5. Martyngały z czasem dyskretnymDo tej pory, dysponując ciągiem zmiennych losowych, nie wiązaliśmy z ich indeksami żadnejinterpretacji. W wielu naturalnych sytuacjach można je interpretować jako współrzędną cza-sową. W konkretnych przypadkach częstoXnopisuje zachowanie układu w chwilin.Tak więcindeks odpowiada za czas.Załóżmy, żeTjest „zbiorem czasów”: to znaczy, jest równy{0,1, 2,. . .},{1,2,. . . ,},{.. . ,−2, −1,0} lub{m,m+ 1,. . . , n}.Definicja 5.1.Załóżmy, że (Ω,F,P)jest przestrzenią probabilistyczną,T- jak wyżej.Filtracjąnazywamy rodzinę (Ft)t∈T, gdzie dla każdegot,Ftjestσ-ciałemzawartym wForazFt⊆ Fsjeślis t.Intuicja:σ-ciałoFtopisuje wszystko co się może zdarzyć do chwilit.Definicja 5.2.Załóżmy, że (Ω,F,P)jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację(Ft)t∈T. Funkcjęτ: Ω→T∪ {+∞}nazywamymomentem zatrzymania,jeśli dla każdegot∈Tmamy{τ=t}∈ Fn.Intuicyjnie, moment zatrzymania jest „sensowną” reguła stopowania: taką, iż decyzję, czysię zatrzymywać, podejmujemy na podstawie zdarzeń z przeszłości i teraźniejszości. Spójrzmyna następującyPrzykład:Rzucamy 10 razy monetą. NiechXn= 1, jeśli wn-tymrzucie wypadł orzeł,iXn= 0 w przeciwnym przypadku. Wprowadźmyσ-ciałaFn=σ(X1, X2, . . . , Xn),n=1, 2,. . . ,10 (jest to tzw.naturalna filtracja względem ciągu(Xn)) Rozważmy dwie strategie:τ- wycofujemy się, gdy wypadnie orzeł po raz pierwszy,σ- wycofujemy się, gdy orzeł wypadapo raz ostatni (jeśli wypadają same reszki, przyjmujemyτ=σ= 10). Intuicja podpowiada, iżτjest sensowną regułą zatrzymania - decyzję o tym, czy się wycofać, czy nie, podejmujemy napodstawie informacji, które dopłynęły do nas do danej chwili. Strategiaσnie jest sensowna:skąd mamy wiedzieć - nie znając przyszłości - czy orzeł, który właśnie wypadł, jest ostatni?Formalny dowód tego, żeσnie jest momentem zatrzymania, pozostawiamy jako ćwiczenie.Uwaga:Warunek definiujący moment stopu można zapisać równoważnie w następujący sposób.Funkcjaτ: Ω→T∪ {+∞}jest momentem zatrzymania wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdegot∈T,{τt}∈ Ft.Dowód.⇒Mamyt{τt}=k=1{τ=k}∈ Ft,gdyż dla każdegok t,{τ=k}∈ Fk⊆ Ft.⇐Mamy{τ=t}={τt}\ {τt−1} i oba zdarzenia należą doFt.Przykłady:Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II c Osękowski, Uniwersytet Warszawski, 2011.391)τ≡njest momentem zatrzymania względem każdej filtracji:{τ=k}=∅jeślin=k,Ω jeślin=k.2) Załóżmy, że (Ω,F,P)jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację (Fn)n∈T.Załóżmy, że (Xn)n∈Tjest rodziną zmiennych losowych (procesemstochastycznym)o tej własno-ści, że dla każdegon,zmiennaXnjest mierzalna względemFn(mówimy, że proces stochastyczny(Xn) jest adaptowany do filtracji (Fn)). Dalej, niechB∈ B(R)orazτB(ω) = inf{n∈T:Xn(ω)∈B},przy czym przyjmijmy konwencję inf∅= +∞. FunkcjaτBtomoment pierwszego dojścia procesu(Xn)do zbioruB.WówczasτBjest momentem zatrzymania: dla każdegon,{τB=n}={Xn∈BorazXk∈Bdlak < n}/={Xn∈B}∩{Xk∈Bc} ∈ Fn.k<nAnalogiczny fakt zachodzi, gdy zmienneXnprzyjmują wartości wRd, albo ogólniej, w prze-strzeni metrycznejE.Definicja 5.3.Załóżmy, że (Ω,F,P)jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację(Ft)t∈Ti niechτbędzie momentem zatrzymania. DefiniujemyFτ={A ∈ F:A∩ {τ=n}∈ Fndla wszystkichn}={A ∈ F:A∩ {τn}∈ Fndla wszystkichn}.Intuicyjnie,Fτopisuje wszystkie zdarzenia, które mogą zajść do momentuτ.Uwagi:1)Fτjestσ-ciałem,2) jeśliτ≡n,toFτ=Fn.Własności:1) Jeśliτ1,τ2są momentami zatrzymania, toτ1∧τ2= min{τ1, τ2}orazτ1∨τ2= max{τ1, τ2}też są momentami zatrzymania. Istotnie,{τ1∧τ2{τ ∨τ2n}={τ1n}={τ1n}∪ {τ2n}∩ {τ2n}∈ Fn,n}∈ Fn.τ2, toFτ1⊆ Fτ2. Istotnie, jeśli2) Jeśliτ1,τ2są takimi momentami zatrzymania, żeτ1A∈ Fτ1, to dla każdegon,A∩ {τ2n}= (A∩ {τ1n})∩ {τ2n},i dwa ostatnie przecinane zbiory należą doFn.3) Moment zatrzymaniaτjest mierzalny względemFτ. Istotnie,{τa}∩ {τ=n}=∅{τ=n}jeślia < n,∈ Fn.jeślia n405. Martyngały z czasem dyskretnym4) Załóżmy, że (Xt)t∈Tjest adaptowany do danej filtracji, aτjest momentem zatrzymaniawzględem tej filtracji spełniającym warunekτ <∞(jest to tzw.skończony moment stopu.Wówczas zmiennaXτjest mierzalna względemFτ. Istotnie,{Xτa}∩ {τ=n}={Xna}∩ {τ=n}∈ Fn,jako że oba przecinane zdarzenia należą doFn.Przechodzimy do definicji głównych pojęć niniejszego rozdziału.Definicja 5.4.Załóżmy, że (Ω,F,P)jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację(Ft)t∈T. Załóżmy, że (Xt)t∈Tjest adaptowanym ciągiem całkowalnych zmiennych losowych.Mówimy, że (Xt,Ft)t∈Tjesta)martyngałem,jeśli dla wszystkichs, t∈T,s tzachodziE(Xt|Fs) =Xs.b)nadmartyngałem,jeśli dla wszystkichs, t∈T,s tzachodziE(Xt|Fs)Xs.c)podmartyngałem,jeśli dla wszystkichs, t∈T,s tzachodziE(Xt|Fs)Xs.Jeśli filtracja jest ustalona, to mówimy po prostu, że (Xt)t∈Tjest martyngałem (nad-, pod-),jeśli zachodzą powyższe warunki.Uwagi:a) (Xt) jest martyngałem, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnychs, t∈T,s < t,orazA∈ FszachodziXtdP=AAXsdP.Analogicznie dla nad- i podmartyngałów.b) U nasT={0,1, 2,. . .},{1,2,. . .},{m,m+ 1,. . . , n},{.. . ,−2, −1,0}.c) (Xt) jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest nad- i podmartyngałem.d) (Xt) jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy (−Xt) jest nadmartyngałem.e) Jeśli (Xt), (Yt) są martyngałami względem tej samej filtracji ia, b∈R,to (aXt+bYt)też jest martyngałem. Analogiczny fakt zachodzi dla nad- i podmartyngałów, o ilea, b >0.f) Jeśli zbiórTjest taki jak w b), to (Xt)t∈Tjest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dlawszystkichn∈Ttakich, żen+ 1∈T, zachodziE(Xn+1|Fn) =Xn(analogiczny fakt zachodzidla nad- i podmartyngałów).Dowód:.⇒oczywiste (szczególny przypadek).⇐Załóżmy, żem, n∈T,m > n.WówczasFn⊆ Fm−1, a więc na mocy własności warun-kowej wartości oczekiwanej,E(Xm|Fn) =E(E(Xm|Fm−1)|Fn) =E(Xm−1|Fn),i dalej przez indukcję.Przykłady:1) Załóżmy, żeξ1, ξ2, . . .są niezależnymi, całkowalnymi zmiennymi losowymi o średniej 0.NiechXn=ξ1+ξ2+. . .+ξniFn=σ(X1, X2, . . . , Xn),n= 1, 2,. . ..Wówczas (Xn,Fn)∞n=1jest martyngałem:E(Xn+1|Fn) =E(Xn+ξn+1|Fn)=E(Xn|Fn) +E(ξn+1|Fn) =Xn+Eξn+1=Xn.2) Załóżmy, żeXjest całkowalną zmienną losową, (Ft)t∈Tjest filtracją i niechXt=E(X|Ft)dlat∈T. Wówczas (Xt,Ft)t∈Tjest martyngałem.41Dowód:.Weźmys, t∈T,s < t.Mamy, na mocy własności warunkowej wartości oczekiwanej,E(Xt|Fs) =E(E(X|Ft)|Fs) =E(X|Fs) =Xs.Martyngał taki jak w przykładzie 2) nazywamy prawostronnie domkniętym. Czasami nazywasię tak martyngał wraz z domknięciem: (Xt,Ft)T∪{∞}, gdzie (X∞,F∞) = (X,F).Stwierdzenie 5.1.Załóżmy, że(Xt,Ft)t∈Tjest martyngałem, af:R→Rjest funkcją wy-pukłą taką, żef(Xt)jest zmienną całkowalną dla każdegot∈T. Wówczas(f (Xt),Ft)t∈Tjestpodmartyngałem.Dowód:.Załóżmy, żes, t∈T,s < t.Wówczas, na mocy nierówności Jensena,E(f(Xt)|Fs)f(E(Xt|Fs)) =f(Xs).Wniosek 5.1.Załóżmy, że(Xt,Ft)t∈Tjest martyngałem. Wówczasa) Jeśli dla pewnegop1mamy, iżXt∈Lpdla wszystkicht,to(|Xt|p,Ft)jest podmar-tyngałem.b) Dla dowolnej liczby rzeczywisteja,proces(Xt∨a,Ft)t∈Tjest podmartyngałem. W szcze-+−gólności,(Xt), (Xt)są podmartyngałami.Twierdzenie 5.1(Dooba, „optional sampling”).Załóżmy, że(Xn,Fn)njest nad-martyngałem (odp., martyngałem). Załóżmy, żeτ1, τ2są momentami zatrzymania ta-kimi, żeτ1τ2iτ2jest ograniczony. Wówczas mamyE(Xτ2|Fτ1)Xτ1p.n. (odpo-wiednio,E(Xτ2|Fτ1) =Xτ1p.n.).Dowód:.Załóżmy, żeτ2n.Zauważmy najpierw, iżXτ1, Xτ2są całkowalne, gdyż|Xτi|max{|X1|, |X2|,. . . ,|Xn|}.ZmiennaXτ1jest mierzalna względemFτ1, a zatem wystarczy wy-kazać, że dla każdegoA∈ Fτ1,AXτ2dPAXτ1dP(odpowiednio, z równością w miejscu nierówności w przypadku martyngałowym).Załóżmy najpierw, żeτ2−τ11. MamyXτ1−Xτ2dP==k=0{τ1=k}∩A∩{τ2>k}A∩{τ2>τ1}nAXτ1−Xτ2dPXk−Xk+1(odpowiednio, = 0). Ostatnia nierówność bierze się stąd, iż{τ1=k}∩A∩ {τ2> k}∈ Fk.Weźmy teraz dowolneτ1τ2n.Definiujemyτ(k)= max{τ1,min{τ2, k}}.Zmienneτ(k)są momentami zatrzymania, a ponadtoτ1=τ(0)orazτ(k+1)−τ(k)τ(1)...τ(n)=τ21. Zatem dla każdegoA∈ Fτ1⊆ Fτ(k),AAXτ1=Xτ(0)AXτ(1)AXτ(2)...AXτ(n)=AXτ2(z równościami w przypadku martyngałowym).425. Martyngały z czasem dyskretnymTwierdzenie 5.2(Dooba o zbieżności p.n. nadmartyngałów).Załóżmy, że proces−(Xn,Fn)n=0,1,2,...jest nadmartyngałem takim, żesupnEXn<∞.Wówczas ciąg(Xn)jest zbieżny p.n. do pewnej zmiennej losowej całkowalnej.Wniosek 5.2.a) Każdy nieujemny nadmartyngał(Xn,Fn)(tzn. spełniającyXnp.n. dlawszystkichn)jest zbieżny p.n.+b) Jeśli(Xn,Fn)n=0,1,2,...jest podmartyngałem spełniającymsupnEXn<∞,to(Xn)jestzbieżny p.n.−c) Jeśli(Xn,Fn)n=0,1,2,...jest nadmartyngałem, to waruneksupnEXn<∞jest równoważnywarunkowisupnE|Xn|<∞(tzn. ograniczoności ciągu(Xn)wL1).Dowód wniosku:.a) jest oczywiste, b) wynika wprost z twierdzenia Dooba poprzez przejście doprocesu (−Xn,Fn), który jest nadmartyngałem. Zajmijmy się dowodem c). Implikacja⇐jest+−−oczywista.⇒Mamy|Xn|=Xn+Xn=Xn+ 2Xn,skąd−E|Xn|=EXn+ 2EXn−EX+ 2 supEXn<∞.nW dowodzie twierdzenia o zbieżności będziemy używać następujących obiektów. Załóżmy,że (xn)n=1,2,...jest ciągiem liczbowym i niecha < bto ustalone liczby rzeczywiste. Określmyτ= inf{n :xn< a},τ1= inf{n> τ:xn> b},...τ2k= inf{n> τ2k−1:xn< a},τ2k+1= inf{n> τ2k:xn> b},...Liczbaτ2k−1tomomentk-tegoprzejścia w górę ciągu(xn)przez przedział[a,b].Niech terazbUa=sup{k :τ2k−1<∞}jeśliτ1<∞,jeśliτ1=∞będzieliczbą przejść w górę ciągu(xn)przez przedział[a,b].Lemat 5.1.Ciąg liczbowy(xn)jest zbieżny (być może do±∞)wtedy i tylko wtedy, gdy dlabwszystkicha, b∈Q,a < b,mamyUa<∞.Dowód:.⇒Przypuśćmy wbrew tezie, że (xn) jest zbieżny oraz że istniejąa, b∈Qtakie, żea < bborazUa=∞.Wówczas znajdziemy nieskończony podciąg zawierający tylko wyrazy mniejszeodaoraz nieskończony podciąg zawierającego wyrazy tylko większe odb.Sprzeczność.⇐Załóżmy, że lim infxn<lim supxn. Wówczas istniejąa, b∈Qtakie, że lim infxn< a <bb <lim supxn; mamy wówczasUa=∞.Lemat 5.2(nierówność Dooba dla przejść w górę).Załóżmy, że(Xn,Fn)mjest nadmartyn-n=0gałem. Wówczas dla dowolnycha < b,bEUa1E((Xm−a)−).b−a [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl