Macierze

Macierze, studia mechatronika dwspit, matma

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebra liniowa
Definicja 1.
Niech
m
i
n
będą liczbami naturalnymi.
MacierzÄ… prostokÄ…tnÄ…
o
m
wierszach i
n
kolumnach, nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze liczb
naturalnych
(i,j)
, gdzie
i
Å“
{1,2,…,m}
,
j
Å“
{1,2,…,n}
, liczbÄ™
aij
.
Twierdzenie 1.
(własności działań na macierzach)
1)
A+B
=
B+A
2)
(A+B)+C=A+(B+C)
3)
A+0=A
4)
k(A+B)=kA+kB
5)
(A
ÿ
B)
ÿ
C=A
ÿ
(B
ÿ
C)
6)
A
ÿ
(B+C)=A
ÿ
B+A
ÿ
C
7)
(A+B)
ÿ
C=A
ÿ
C+B
ÿ
C
8)
A
ÿ
0=0
9)
0
ÿ
A=0
10)
A
ÿ
I=I
ÿ
A=A
gdzie
I
oznacza macierz jednostkowÄ… a
0
macierz zerowÄ….
Rozpatrzmy macierz kwadratowÄ… stopnia
n
:

a
11
a
12
...
a
1
n




a
a
...
a

A
=
21
22
2
n

...
...
...
...




a
a
...
a

n
1
n
2
nn
Z każdego wiersza macierzy
A
wybieramy po jednym elemencie tak, aby spośród
wybranych elementów żadne dwa nie należały do tej samej kolumny. Otrzymamy w ten
sposób
n
elementów, z których tworzymy iloczyn:
a
1
i
â‹…
a
2
i
â‹…
...
â‹…
a
ni
,
1
2
n
pisząc jego czynniki w kolejności odpowiadającej numerom wierszy macierzy. Wówczas
drugie wskaźniki określające numery kolumn tworzą jedną z możliwych permutacji liczb
1,2,…,n
. Jeżeli w dowolnej permutacji podzbioru liczb naturalnych występują liczby nie w
porządku naturalnym, to mówimy, że permutacja zawiera inwersję.
Definicja 2.
Niech
k
oznacza liczbÄ™ inwersji w permutacji
i
1
,i
2
,…,i
n
. Wyrażenie
( )
∑
−
1
k
â‹…
a
â‹…
a
â‹…
...
â‹…
a
,
1
i
2
i
ni
1
2
n
MB
1
Algebra liniowa
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich możliwych permutacjach
i
1
,i
2
,…,i
n
liczb
naturalnych
1,2,…,n
nazywamy wyznacznikiem macierzy
A
i oznaczamy symbolem det
A
.
Definicja 3.
Minorem
M
ij
macierzy kwadratowej
A
stopnia
n
nazywamy wyznacznik macierzy
powstałej z macierzy
A
poprzez usunięcie
i
-tego wiersza oraz
j
-tej kolumny.
Definicja 4.
Dopełnieniem algebraicznym elementu
a
ij
, które oznaczamy symbolem
D
ij
,
nazywamy iloczyn
(-1)
i+j
ÿ
M
ij
.
Twierdzenie 2.
(Laplace’a)
Wyznacznik równy jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza
(kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego:
det
A
=
a
1
D
1
+
a
2
D
i
2
+
...
+
a
in
D
in
,
1
≤
i
≤
n
lub
det
A
=
a
1
j
D
1
j
+
a
2
j
D
2
j
+
...
+
a
nj
D
nj
,
1
≤
j
≤
n
.
Twierdzenie 3.
(własności wyznaczników)
1)
Jeżeli jakikolwiek wiersz (lub kolumna) macierzy składa się z samych zer to jej
wyznacznik jest równy zero,
2)
Wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej,
3)
Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku jej
wyznacznika,
4)
Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy
zeru,
5)
Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (danej kolumny) można
wyłączyć przed znak wyznacznika,
6)
Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest
równy zero,
7)
Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego wiersza (kolumny)
dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą,
8)
det
A
â‹…
B
=
det
A
â‹…
det
B
(twierdzenie Cauchy’ego),
9)
Suma iloczynów elementów pewnego wiersza (kolumny) i dopełnień
algebraicznych odpowiadających elementom innego wiersza (kolumny) jest równa
zero.
MB
2
i
i
i
Algebra liniowa

a
11
a
12
...
a
1
n


a
11
a
12
...
a
1
n


a
11
a
12
...
a
1
n







a
a
...
a
a
a
...
a
a
a
...
a

21
22
2
n


21
22
2
n


21
22
2
n







...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
10)
det
+
det
=
det






a
a
...
a
b
b
...
b
a
+
b
a
+
b
...
a
+
b






1
i
2
in
i
1
i
2
in
1
1
i
2
i
2
in
in

...
...
...
...


...
...
...
...


...
...
...
...


a
n
1
a
n
2
...
a
nn


a
n
1
a
n
2
...
a
nn


a
n
1
a
n
2
...
a
nn

Definicja 5.
Układ wektorów
u
1
,
u
2
,...,
u
n
nazywamy
liniowo niezależnym,
jeśli równanie:
α
u
1
+
α
2
u
2
+
...
+
α
n
u
n
=
0
spełnione jest tylko w przypadku, gdy
α
1
=
α
2
=
...
=
α
=
0
.
Układ wektorów
u
1
,
u
2
,...,
u
n
, który nie jest liniowo niezależnym, nazywamy
liniowo
zależnym
.
Definicja 6.
Rzędem macierzy
nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn macierzy.
LiczbÄ™ tÄ™ oznaczamy symbolem
rzA
.
Twierdzenie 4.
Maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy jest równa maksymalnej liczbie
liniowo niezależnych wierszy tej macierzy.
Twierdzenie 5.
RzÄ…d macierzy
A
jest równy stopniowi macierzy jednostkowej występującej w jej postaci
kanonicznej.
Twierdzenie 6.
Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni jej nieosobliwych podmacierzy.
Twierdzenie 7.
RzÄ…d macierzy nie ulega zmianie, gdy:
1)
przestawimy dwa wiersze (kolumny) macierzy,
2)
do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumnÄ™)
pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą,
3)
pomnożymy dowolny wiersz (kolumnę) macierzy przez dowolną liczbę różną od
zera,
MB
3
i
i
i






1
Algebra liniowa
4)
usuniemy z macierzy wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer,
5)
transponujemy macierz.
Definicja 7.
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące działania:
1)
przestawimy dwa wiersze (kolumny) macierzy,
2)
do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumnÄ™)
pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą,
3)
pomnożymy dowolny wiersz (kolumnę) macierzy przez dowolną liczbę różną od
zera.
Twierdzenie 8.
Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.
Definicja 8.
Macierz kwadratowa
A
-1
stopnia
n
spełniająca warunek:
A
â‹…
A
−
1
=
A
−
1
â‹…
A
=
I
,
gdzie I jest macierzÄ… jednostkowÄ…, nazywamy
macierzÄ… odwrotnÄ…
do macierzy
kwadratowej
A
stopnia
n
.
Twierdzenie 9.
Jeżeli macierz kwadratowa
A
jest macierzÄ… nieosobliwÄ…, to istnieje do niej macierz
odwrotna
A
-1
, przy czym
A
=
−
1
A
d
.
det
A
Symbol
A
d
oznacza
macierz dołączoną
, czyli transponowaną macierz dopełnień
algebraicznych.
Twierdzenie 10.
Jeżeli
A
i
B
sÄ… nieosobliwymi macierzami tego samego stopnia, to
( )
A
â‹…
B
−
1
=
B
−
1
â‹…
A
−
1
.
Twierdzenie 11.
Wyznacznik macierzy odwrotnej
A
-1
jest odwrotnością wyznacznika macierzy
A
, to jest
det
A
−
1
=
1
.
det
A
MB
4
1
Algebra liniowa
Twierdzenie 12.
Macierz odwrotna do macierzy odwrotnej
A
-1
jest identyczna z danÄ… macierzÄ…, to jest
( )
A
=
−
1
−
A
.
Twierdzenie 13.
Macierz transponowana macierzy odwrotnej równa jest macierzy odwrotnej do macierzy
transponowanej, to jest
( ) ( )
1
A
−
1
T
=
A
T
−
.
Układy równań
można podzielić:
1)
ze względu na liczbę rozwiązań
a.
układy sprzeczne – zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym,
b.
układy oznaczone – zbiór rozwiązań jest zbiorem jednoelementowy,
c.
układy nieoznaczone – zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele
elementów.
2)
ze względu na postać wektora wyrazów wolnych:
a.
jednorodne – wektor wyrazów wolnych jest wektorem zerowym,
b.
niejednorodne – wektor wyrazów wolnych zawiera elementy niezerowe.
Definicja 9.
Układ
n
równań liniowych o
n
niewiadomych
Ax=b
, w którym macierz
A
jest macierzÄ…
nieosobliwą nazywamy układem Cramera równań liniowych.
Twierdzenie 14.
Jeżeli wyznacznik
det
A
układu równań liniowych
Ax=b
jest różny od zera, to układ ten ma
dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami, nazywanymi
wzorami Cramera
:
x
=
det
A
,
x
=
det
A
2
,
...
,
x
=
det
A
n
.
1
det
A
2
det
A
n
det
A
gdzie
det
A
j
(
j=1,2,…,n
) jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy
A
w wyniku
zastÄ…pienia jej
j
-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Twierdzenie 15.
(Kroneckera-Capellego)
Układ równań liniowych
Ax=b
ma rozwiÄ…zanie wtedy i tylko wtedy, gdy
rzA=rzU
, przy
czym gdy
rzA=rzU=n
, to układ jest oznaczony, natomiast jeżeli
rzA=rzU=r<n
, to układ
jest nieoznaczony.
Wniosek.
Jeżeli
rzA
≠
rzU
, to układ równań jest układem sprzecznym.
MB
5
1
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl