Matematyka - Teoria - Całka nieoznaczona 1, Budownictwo S1, Semestr II, Matematyka, Teoria

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Całka nieoznaczona. Cz¦±¢ pierwsza.
Definicja. Funkcja
F
jest
funkcj¡ pierwotn¡
funkcji
f
w przedziale
I
,
je»eli dla ka»dego
x2I
zachodzi równo±¢
F
0
(
x
)=
f
(
x
)
:
Przykład. Funkcjasin
x
jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcjicos
x
w prze-
dziale(
¡1;
+
1
), bo(sin
x
)
0
=cos
x
.
Twierdzenie. Ka»da funkcja ci¡gła w przedziale
I
ma w tym prze-
dziale funkcj¦ pierwotn¡.
Twierdzenie. Załó»my, »e
F
jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
w prze-
dziale
I
. Wtedy
1) Funkcja
G
(
x
)=
F
(
x
)+
C
, gdzie
C2
R jest dowoln¡ stał¡, jest
funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
w
I
;
2) Ka»da funkcja pierwotna funkcji
f
w
I
jest postaci
F
(
x
)+
C
,
dla pewnej stałej
C2
R.
Dowód.
1) Dla ka»dego
x2I
mamy
G
0
(
x
)=(
F
(
x
)+
C
)
0
=
F
0
(
x
)+
C
0
=
f
(
x
)+0=
f
(
x
)
:
2) Załó»my, »e
G
jest funkcj¡ pierwotn¡
f
w
I
. Wtedy dla ka»dego
x2I
mamy
(
G
(
x
)
¡F
(
x
))
0
=
G
0
(
x
)
¡F
0
(
x
)=
f
(
x
)
¡f
(
x
)=0
:
Na mocy wniosku z twierdzenia Lagrange’a (patrz wykład o pochod-
nych, cz¦±¢ druga),
G
(
x
)
¡F
(
x
)jest funkcj¡ stał¡ w przedziale
I
. St¡d
G
(
x
)=
F
(
x
)+
C
dla pewnego
C2
R.
Definicja.
Całk¡ nieoznaczon¡
funkcji
f
w przedziale
I
nazywamy
zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji
f
w tym przedziale.
Całk¡ nieoznaczon¡ funkcji
f
oznaczamy przez
Z
f
(
x
)
dx:
Je»eli
F
jest dowoln¡ funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
w przedziale
I
, to
z powy»szego twierdzenia wynika, »e całka nieoznaczona funkcji
f
jest
zbiorem funkcji postaci
F
(
x
)+
C
, gdzie
C
jest dowoln¡ stał¡ (zwan¡
stał¡ całkowania
):
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)+
C:
1
2
Nast¦puj¡ce wzory łatwo sprawdzi¢, ró»niczkuj¡c funkcje po prawej
stronie:
Z
x
®
dx
=
x
®
+1
Z
®
+1
+
C
dla
®6
=1
;
e
x
dx
=
e
x
+
C;
Z
Z
1
x
dx
=ln
jxj
+
C;
a
x
dx
=
a
x
ln
a
+
C;
Z
Z
sin
xdx
=
¡
cos
x
+
C;
cos
xdx
=sin
x
+
C;
Z
1
1+
x
2
dx
=arctg
x
+
C;
Z
1
p
1
¡x
2
dx
=arcsin
x
+
C:
Twierdzenie. Załó»my, »e funkcje
f
i
g
maj¡ w pewnym przedziale
funkcje pierwotne, a
®2
R jest dowoln¡ stał¡. Wtedy zachodz¡ wzory
Z
Z
Z
(
f
(
x
)+
g
(
x
))
dx
=
f
(
x
)
dx
+
g
(
x
)
dx;
Z
Z
®f
(
x
)
dx
=
®
f
(
x
)
dx:
Przykład.
Z
Z
Z
Z
dx
=
1
4
x
4
¡
5
(
x
3
¡
5
x
+2)
dx
=
x
3
dx¡
5
xdx
+2
2
x
2
+2
x
+
C:
Twierdzenie. (
Całkowanie przez cz¦±ci.
) Załó»my, »e funkcje
f
i
g
maj¡ w pewnym przedziale ci¡głe pochodne. Wtedy zachodzi wzór
Z
Z
f
(
x
)
g
0
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
g
(
x
)
¡
f
0
(
x
)
g
(
x
)
dx:
Dowód.
Na mocy wzoru na pochodn¡ iloczynu dwóch funkcji mamy
(
f
(
x
)
g
(
x
))
0
=
f
0
(
x
)
g
(
x
)+
f
(
x
)
g
0
(
x
)
:
St¡d
Z
(
f
0
(
x
)
g
(
x
)+
f
(
x
)
g
0
(
x
))
dx
=
f
(
x
)
g
(
x
)+
C;
Z
Z
f
0
(
x
)
g
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
g
0
(
x
)=
f
(
x
)
g
(
x
)+
C:
Przenosz¡c pierwsz¡ całk¡ na praw¡ stron¦ i wł¡czaj¡c do niej stał¡
całkowania otrzymujemy wzór z twierdzenia.
Z
1
cos
2
x
dx
=tg
x
+
C;
Z
1
sin
2
x
dx
=
¡
ctg
x
+
C;
3
Z
ln
xdx
.
Przyjmijmy
f
(
x
)=ln
x
,
g
(
x
)=
x
. Wtedy
f
0
(
x
)=
1
x
,
g
0
(
x
)=1i na
mocy twierdzenia o całkowaniu przez cz¦±ci
Z
Z
1
x
xdx
=
x
ln
x¡x
+
C:
ln
xdx
=
x
ln
x¡
2)
Z
Z
Z
Z
xe
x
dx
=
x
(
e
x
)
0
dx
=
xe
x
¡
(
x
)
0
e
x
dx
=
xe
x
¡
e
x
dx
=
xe
x
¡e
x
+
C:
3)
Z
Z
Z
x
cos
xdx
=
x
(sin
x
)
0
dx
=
x
sin
x¡
sin
xdx
=
x
sin
x
+cos
x
+
C:
Twierdzenie. (
Całkowanie przez podstawienie.
) Niech
f
(
x
)b¦dzie
funkcj¡ ci¡gł¡ w przedziale
I
i niech
'
(
t
)b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ w
przedziale
J
, spełniaj¡c¡ w tym przedziale warunek
'
(
t
)
2I
i maj¡c¡
ci¡gł¡ pochodn¡. Wtedy zachodzi wzór
Z
Z
f
(
x
)
dx
=
f
(
'
(
t
))
'
0
(
t
)
dt:
Dowód.
Niech
F
(
x
)b¦dzie funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
w przedziale
I
.
Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji zło»onej mamy
[
F
(
'
(
t
))]
0
=
F
0
(
'
(
t
))
'
0
(
t
)=
f
(
'
(
t
))
'
0
(
t
)dla
t2J:
St¡d
Z
f
(
'
(
t
))
'
0
(
t
)
dt
=
F
(
'
(
t
))+
C:
Przyjmuj¡c
x
=
'
(
t
)otrzymujemy
Z
Z
f
(
'
(
t
))
'
0
(
t
)
dt
=
F
(
x
)+
C
=
f
(
x
)
dx:
Uwaga. Twierdzenie o całkowaniu przez cz¦±ci wskazuje, jak prze-
kształca si¦ całka po wprowadzeniu nowej zmiennej przez podstawienie
x
=
'
(
t
).
Przykład. 1) Obliczymy całk¦
4
Przykład. 1) Obliczymy całk¦
Z
1
ax
+
b
dx
, gdzie
a6
=0. Przyjmijmy
ax
+
b
=
t
, czyli
x
=
t¡b
a
.
Z
1
ax
+
b
dx
=
Z
1
t
µ
t¡b
a

0
Z
1
t
¢
1
a
dt
=
1
a
ln
jtj
+
C
=
1
dt
=
a
ln
jax
+
bj
+
C:
Z
x
p
1+
x
2
dx
=
1
2
Z
p
1+
x
2
2
xdx
=
1
2
Z
p
1+
x
2
(1+
x
2
)
0
dx:
2)
Po podstawieniu1+
x
2
=
t
otrzymujemy całk¦
1
2
Z
t
1
2
dt
=
1
3
t
3
2
+
C
=
1
3
(
p
1+
x
2
)
3
+
C:
Z
1
t
dt
=ln
jtj
+
C
. Podobnie całka
Z
'
0
(
x
)
'
(
x
)
dx
przekształca si¦ po podstawieniu
Á
(
x
)=
t
w całk¦
Z
[
'
(
x
)]
®
'
0
(
x
)
dx
, gdzie
®6
=
¡
1
Z
t
®
dt
=
t
®
+1
przekształca si¦ w
®
+1
+
C
. St¡d otrzymujemy wzory
Z
'
0
(
x
)
'
(
x
)
dx
=ln
j'
(
x
)
j
+
C;
Z
[
'
(
x
)]
®
'
0
(
x
)
dx
=
[
'
(
x
)]
®
+1
®
+1
+
C;
dla
®6
=
¡
1
:
Z
Z
¡
sin
x
cos
x
dx
=
¡
Z
(cos
x
)
0
cos
x
dx
=
¡
ln
j
cos
xj
+
C:
4)
tg
xdx
=
¡
Uwaga. Obliczanie całek jest na ogół trudne. Zauwa»my, »e gdyby-
±my nie znali funkcji cyklometrycznych, nie potrafiliby±my scałkowa¢
prostych funkcji
x
2
+1
i
1
1
p
1
¡x
2
:
To pozwala zrozumie¢ fakt, »e całki wielu prostych funkcji nie daj¡ si¦
wyrazi¢ przez funkcje elementarne. Nale»¡ do nich np. całki
Z
p
Z
sin
x
x
dx;
Z
1
ln
x
dx;
Z
1+
x
3
dx;
e
¡x
2
dx:
3) Całka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • mement.xlx.pl

    • Tematy