Matematyka klucz, MATURA, Matematyka, Rozwiązania

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
1
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA
POZIOM ROZSZERZONY
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Liczba
punktów
Uwagi dla egzaminatorów
1.1 Podanie wartości
b
:
b
= .
2
1
Sporządzenie wykresu funkcji
g
.
y
5
4
3
2
Krzywa będąca wykresem funkcji
g
dla
4
1
1.2
1
x
< nie może przecinać prostej
o równaniu
1
y
= .
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1.3
Zapisanie szukanych wartości parametru
p
:
p
= lub
p
≥ .
2
1
Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej i zapisanie:
4 2
x
x
5
x
∈ −∞ − ,
( )
, 5
2
2.1
− −<+dla
4 2 5
x
x
x
∈ −− ,
5, 3
)
1
4 2 5
x
+ <+ dla
x
x
∈ −∞.
3,
)
2.2
Rozwiązanie nierówności liniowych bez uwzględniania ograniczeń:
7
3
x
>− ,
17
5
x
< − .
7
3
1
Uwzględnienie ograniczeń, tzn. zapisanie zbiorów rozwiązań
2.3
poszczególnych nierówności: zbiór pusty,
⎛
17
,3
5
⎠
,
− −
3,
7
⎠
.
1
⎝
3
2.4
Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności z wartością bezwzględną:
17 7
,
53
−−
⎠
.
1
⎝
2.1
II sposób rozwiązania:
Zapisanie danej nierówności w postaci : 43 5
x
+ <+
x
.
1
2
0
− −<−− dla
x
>− ,
− −
⎞
⎞
⎜
⎟
⎛
⎞
⎜
⎟
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
2
2.2
Podniesienie obu stron nierówności do drugiej potęgi:
( ) ( )
2
⋅ + <+
x
3
2
x
5
2
.
1
Doprowadzenie nierówności do postaci iloczynowej:
( ) ( )
37570
x
+ ⋅ +<
x
Punkt przyznajemy, gdy zdający zapisze
nierówność w postaci ogólnej i obliczy
pierwiastki trójmianu kwadratowego.
2.3
lub
15
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
x
+ + <
17
x
7
0
.
1
5
3
2.4
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:
x
∈− −
⎛
17 7
,
53
⎠
.
1
⎝
Metoda graficzna.
Zapisanie danej nierówności w postaci : 43 5
2.1
x
+ <+
x
.
1
2.2
Sporządzenie wykresów funkcji
fx x
( )
= + i
43
gx x
( )
= + .
5
1
2.3 Wyznaczenieodciętych punktów wspólnych wykresów funkcji
f
i
g
.
1
2.4
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:
(
− − .
17
5
,
7
)
1
Sporządzenie rysunku.
12
y
2
yx
11
=2 -6
yx
10
9
8
7
6
5
Na rysunku muszą być szkice wykresów
obu funkcji podanych w zadaniu.
3
3.1
4
1
3
2
1
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
3.2
Zapisanie współrzędnych dowolnego punktu paraboli w zależności od
jednej zmiennej: np.
Pxx
= .
( )
,
2
1
3.3
Wyznaczenie odległości punktu
P
od danej prostej:
d
=
2
x
−
x
2
−
6
.
1
.
5
3.4
Zapisanie odległości bez wartości bezwzględnej:
( )
5
x
−
1
2
+
5
x
2
− +
26
5
x
1
d
=
lub
d
=
.
4
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎞
⎜
⎟
3
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
3
3.5
Oszacowanie najmniejszej wartości:
d
≥ .
5
1
II sposób rozwiązania: (czynności 3.4 i 3.5)
Zdający może wyznaczyć równanie prostej
równoległej do danej prostej, stycznej do
paraboli i obliczyć odległość między tymi
prostymi równoległymi.
2
xx
− −
6
Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji
dx
()
=
:
3.4
1
5
d
= .
5
3.5
Zapisanie wniosku:
d
≥ .
5
1
4.1
Obliczenie prawdopodobieństw:
PA
= ,
()
2
3
PB
= .
()
3
4
1
Zdający nie musi wprost zapisywać prawa
De Morgana.
4
4.2 Zastosowanie prawa De Morgana:
AB AB
′
′
∩=∪ .
( )
1
4.3 Wykorzystanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.
1
4.4
Obliczenie wartości
PA B
( )
′ ′
∩ :
PA B
( )
∩ = .
1
12
1
a
5.1 Zapisanie wzoru funkcji w postaci:
hx
()
= +
−
1
.
1
x
2
Wystarczy obliczenie współczynnika
a
.
Akceptujemy podanie wzoru
Obliczenie współczynnika
a
i zapisanie wzoru funkcji:
a
= ,
2
x
5.2
()
2
1
hx
=
, bez uzasadnienia.
5
hx
= +
−
1
.
x
−
2
x
2
Przyznajemy wtedy punkty za czynności
5.1, 5.2.
5.3
Obliczenie wartości funkcji
h
dla
x
= :
3
h
= −−
( )
3233
1
i zapisanie wniosku.
Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia i zapisanie wyrażenia w postaci:
1
1
6.1
23223 23 23
( ) ( )
2
2
1
6
lub
232232323
−+⋅ − ⋅ + ++.
( ) ( )
6.2 Obliczenie liczby
a
:
a
= .
6
1
6.3 Obliczenie liczby
b
:
b
=
9
.
1
6.4
Zapisanie wniosku wraz z uzasadnieniem:
a
> .
b
b
a
1
2
min
′ ′
()
− +⋅ − ⋅ + ++
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
4
7.1
Zapisanie, że liczba ( 3
− ) jest jednym z rozwiązań danego równania
1
( )(
+
3
x
2
+
5
x
+
4
)
=
0
.
7.2 Rozwiązanie równania kwadratowego
x
2
+ +=:
540
x
x
= − 4
1,
x
=− .
1
7.3
Rozwiązanie warunku, dla którego drugi czynnik równania nie ma
rozwiązań:
Δ< dla
0
p
∈ −∞ − ∪ ∞ .
( ) ( )
,2 2,
1
Zapisanie układu warunków, dla których liczba
( )
− jest jedynym
− ) jest rozwiązaniem
równania kwadratowego
( ) ( )
2
rozwiązaniem równania kwadratowego
x
2
+ +++=:
( ) ( )
2
p x p
4
1
0
7.4
1
−
b
a
x
2
+ +++=:
2
p x p
1
0
Δ =
0i
= − .
3
7
2
p
=
lub
p
=
−
.
Sprawdzenie, że tylko dla
p
=
2
liczba
7.5
Rozwiązanie układu warunków z punktu 7.4:
p
= .
2
1
− ) jest jedynym rozwiązaniem równania
kwadratowego.
7.6
Zapisanie odpowiedzi:
p
∈
( ) )
∞
,
−
2
∪
2
∞
.
1
7.4
II sposób rozwiązania: (czynności 7.4, 7.5)
Zapisanie warunku, przy którym liczba
( )
− jest jedynym rozwiązaniem
1
równania
x
2
++ ++=:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
p x p
4
1
0
x
+ =++ ++.
3
2
x
2
p
4
x p
1
2
7.5
Obliczenie
p
:
p
= .
2
1
8.1
+ , gdzie
a
– długość dłuższej podstawy,
b
– długość
krótszej podstawy,
c
– długość ramienia trapezu.
a
b
=
2
c
1
Wyznaczenie różnicy długości podstaw trapezu za pomocą długości
ramienia:
8.2
a
−
c
b
=
4 −
60
.
1
Wyrażenie wysokości trapezu w zależności od długości ramienia:
2
8
8.3
h
=− + − .
3
c
120 900
c
1
8.4
Wyznaczenie pola trapezu jako funkcji długości jego ramienia:
2
=⋅− + − .
3
120 900
c
1
8.5
Wyznaczenie dziedziny funkcji
P
:
c
∈ .
( )
15, 30
2
c
< .
1 pkt za oszacowanie 15
30
c
> .
x
Wyznaczenie wszystkich wartości
p
, dla
których liczba ( 3
4
( 3
−
Zapisanie zależności między bokami czworokąta opisanego
na okręgu:
Pc c
1 pkt za oszacowanie
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
5
= i zapisanie równania
pozwalającego wyznaczyć współrzędne środka okręgu, np.:
Sx
( )
,0
9.1
1
( )
−+= + +.
14
2
2
( )
x
63
2
2
9.2
Obliczenie współrzędnych punktu
S
:
S
=
(−
2
0
.
1
Jeśli zdający wyznaczy równanie
symetralnej odcinka
AB
oraz jej punkt
przecięcia z osią
Ox
,
to przyznajemy
punkty w czynnościach 9.1 oraz 9.2.
9.3
Obliczenie długości promienia okręgu:
r
=
5
i zapisanie równania okręgu:
1
( )
x
+
y
2
2
+
2
=
25
.
9
9.4 Wyznaczenie równania prostej
AB
:
y
=
x
1
+
27
.
1
Wystarczy, że zdający obliczy
współczynnik kierunkowy prostej
AB
.
7
7
Zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej
AB
:
b
9.5
y
+
= 7
−
x
.
1
Wykorzystanie wzoru na odległość punktu ( )
0 od prostej o równaniu
0
9.6
y
+
= 7
−
x
b
i zapisanie równania: 2
b
= .
1
52
9.7
Wyznaczenie równań prostych spełniających warunek zadania:
70
= −−,
x
y
=
x
−
7 +
10
.
1
Wystarczy, że zdający obliczy wartości
b
,
o ile zapisał równanie rodziny prostych
b
y
+
x
.
Oznaczenie współrzędnych środka okręgu
x
y
= 7
−
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • mement.xlx.pl

    • Tematy