Macierze

Macierze, Budownictwo PŁ, Matamatyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Macierze
1.1
Podstawowe denicje
Denicja 1.1 Niech D = f(i;k) : i = 1; 2;:::;m;k = 1; 2;:::;ng. Wowczas kazd
,
a
funkcj
,
e f : D ! R nazywamy macierz
,
a prostok
,
atn
,
a o wymiarach mn;
przy czym liczby
f(i;k) = a
ik
gdzie i = 1; 2;:::;m; k = 1; 2;:::;n
nazywamy elementami macierzy.
Zbior D mozemy utozsamic z "ramk
,
a na liczby" o m wierszach i n kolum-
nach, a konkretna macierz to wypelnienie tej "ramki" liczbami.
2
3
a
11
a
12
::: a
1n
4
5
a
21
a
22
::: a
2n
::: ::: ::: :::
a
m1
a
m2
::: a
mn
Macierze oznaczac b
,
edziemy literami: A;B;C;::: i zapisywac A = [a
ik
]
mn
:
W skrocie zapis A
mn
b
,
edzie oznaczal macierz o m wierszach i n kolumnach.
Szczegolne przypadki macierzy:
1. Jezeli m = n to mowimy o macierzy kwadratowej.
Wtedy n oznacza
stopien macierzy. Elementy a
11
;a
22
;:::;a
nn
tworz
,
a glown
,
a przek
,
atn
,
a tej
macierzy.
2. Macierz kwadratow
,
a A; w ktorej PONI ZEJ glownej przek
,
atnej s
,
a zera,
nazywamy macierz
,
a trojk
,
atn
,
a gorn
,
a.
Denicja macierzy trojk
,
atnej
dolnej jest analogiczna.
3. Macierz, ktora jest jednoczesnie trojk
,
atna gorna i trojk
,
atna dolna, nazy-
wamy diagonaln
,
a.
4. Macierz, ktorej wszystkie elementy s
,
a rowne 0 nazywamy macierz
,
a ze-
row
,
a.
1
5. Macierz uzyskan
,
a z macierzy A przez zamian
,
e wierszy na kolumny nazy-
wamy macierz
,
a transponowan
,
a do A i oznaczamy A
T
.
2
3
2
3
1 1
4
5
1
0
3
4
5
A
T
=
A =
0
2
1
2
1
3
1
1.2
Dzialania na macierzach
Aby dwie macierze mozna bylo dodac lub odj
,
ac, musz
,
a miec TE SAME wy-
miary. Wowczas:
Denicja 1.2 Sum
,
a macierzy A = [a
ik
]
mn
i B = [b
ik
]
mn
nazywamy macierz
C = [c
ik
]
mn
tak
,
a, ze c
ik
= a
ik
+ b
ik
, gdzie i = 1;:::;m; k = 1;:::;n
Denicja 1.3 Roznic
,
a macierzy A = [a
ik
]
mn
i B = [b
ik
]
mn
nazywamy ma-
cierz
C = [c
ik
]
mn
tak
,
a, ze c
ik
= a
ik
b
ik
gdzie i = 1;:::;m; k = 1;:::;n
Denicja 1.4 Iloczynem liczby t 2 R przez macierz A = [a
ik
]
mn
nazywamy
macierz C = [c
ik
] tak
,
a, ze c
ik
= ta
ik
, gdzie i = 1;:::;m; k = 1;:::n:
Denicja 1.5 Iloczynem macierzy A = [a
ik
]
mn
i B = [b
ik
]
np
nazywamy
macierz C = [c
ik
]
mp
tak
,
a, ze
c
ik
= a
i1
b
1k
+ a
i2
b
2k
+ + a
in
b
nk
gdzie i = 1;:::;m; k = 1;:::;p:
W skrocie
n
X
c
ik
=
a
iu
b
uk
:
u=1
Mnozenie macierzy A
mn
i B
pq
mozna wykonac, jesli ilosc kolumn macierzy
A jest rowna ilosci wierszy macierzy B; czyli gdy n = p: Wynikowa macierz
b
,
edzie wowczas miala wymiary mq:
2
Przyklad 1.1 Wykonac mnozenie macierzy AB oraz BA jesli:
2
4
3
5
2
3
3 1
2 1
0
4
5
A=
B=
2
0
1
0
1
1
1
2
3
5 3 1
4
5
AB=
4 2
0
3 1
1
2
3
4 2
4
5
BA=
4
0
Mnozenie macierzy nie jest przemienne, czyli nie musi zachodzic AB = BA:
Denicja 1.6 Macierz diagonalna, w ktorej na glownej przek
,
atnej stoj
,
a ele-
menty rowne 1 nazywa si
,
e jednostkow
,
a, oznaczamy j
,
a przez I: Przyklady
macierzy jednostkowych:
2
3
2
3
1
0
0
0
2
3
4
5
1
0
0
4
5
1
0
0
1
0
0
4
5
,
[1],
,
,...
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Uwaga 1.1 Niech A
mn
- dowolna macierz, I
n
; I
m
- macierze jednostkowe
wymiarow odpowiednio n i m: Wtedy
I
m
A
mn
= A
mn
I
n
= A
mn
:
3
1.3
Wyznacznik macierzy
Dla kazdej macierzy kwadratowej A mozemy wyznaczyc liczb
,
e detA zwan
,
a wy-
znacznikiem macierzy A (ang. determinant). Jesli
2
3
a
11
a
12
::: a
1n
4
5
a
21
a
22
::: a
2n
A =
:::
::: ::: :::
a
n1
a
n2
::: a
nn
to wyznacznik macierzy A oznaczamy przez detA lub symbolem
a
11
a
12
::: a
1n
a
21
a
22
::: a
2n
:::
::: ::: :::
a
n1
a
n2
::: a
nn
Wyznacznik zdeniujemy przy pomocy nast
,
epuj
,
acej rekurencji:
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n:
Jezeli n = 1 to detA = ja
11
j = a
11
:
Jezeli n > 1, to
detA = a
i1
(1)
i+1
W
i1
+ a
i2
(1)
i+2
W
i2
::: + a
in
(1)
i+n
W
in
gdzie przez W
ij
rozumiemy wyznacznik macierzy, powstalej z macierzy A
przez usuni
,
ecie itego wiersza i jtej kolumny. Powyzszy wzor nazywany
jest rozwini
,
eciem Laplace'a wzgl
,
edem i-tego wiersza.
Analogicznie mozna wyznacznik macierzy A przedstawic jako rozwini
,
ecie
wzgl
,
edem jtej kolumny:
detA = a
1j
(1)
1+j
W
1j
+ a
2j
(1)
2+j
W
2j
+ ::: + a
nj
(1)
n+j
W
nj
:
Ta denicja pozwala np. wyznacznik 5go stopnia rozbic na 5 wyznacznikow
4 stopnia, kazdy z nich na 4 wyznaczniki 3-go stopnia, itd.
(W sumie 120
skladnikow.)
Wlasnosci wyznacznikow:
4
1. detA = detA
T
2. Jesli w macierzy przestawimy dwa wiersze (kolumny), to wartosc wyznacz-
nika zmieni si
,
e na przeciwn
,
a.
3. Jezeli macierz posiada chociaz jeden wiersz (lub kolumn
,
e) skladaj
,
acy si
,
e
tylko z zer, to wyznacznik wynosi 0.
4. Jezeli elementy pewnego wiersza (kolumny) s
,
a proporcjonalne do innego
wiersza (kolumny), to wyznacznik macierzy jest rowny 0.
5. Jezeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) danej macierzy po-
mnozymy przez liczb
,
e t, to wartosc wyznacznika tez zostanie pomnozona
przez liczb
,
e t:
6.
a
11
a
12
::: a
1n
a
11
a
12
::: a
1n
a
11
a
12
::: a
1n
a
21
a
22
::: a
2n
:::
a
21
a
22
::: a
2n
:::
a
21
a
22
::: a
2n
:::
::: ::: :::
::: ::: :::
::: ::: :::
+
=
a
k1
a
k2
::: a
kn
b
k1
b
k2
::: b
kn
c
k1
c
k2
::: c
kn
:::
::: ::: :::
:::
::: ::: :::
:::
::: ::: :::
a
n1
a
n2
::: a
nn
a
n1
a
n2
::: a
nn
a
n1
a
n2
::: a
nn
o ile
[a
k1
;a
k2
;:::;a
kn
] + [b
k1
;b
k2
;:::;b
kn
] = [c
k1
;c
k2
;:::;c
kn
]:
7. detAB = detA detB:
Denicja 1.7 Macierz, ktorej wyznacznik jest rowny 0 nazywamy osobliw
,
a,
kazd
,
a inn
,
a macierz kwadratow
,
a nazywamy nieosobliw
,
a.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

mement.xlx.pl