Matlab metody numeryczne, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarne I stopnia, ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Matlab – proste obliczenia numeryczne
Krok 1. Różniczkowanie krzywych
Funkcja
f2=diff(f1)
gdzie:
f1
- wektor wartości funkcji, która ma zostać zróżniczkowana
f2
–
wektor wartości funkcji zróżniczkowanej
realizuje operację różniczkowania.
Zad. 1.
Wczytać dane z pliku
f1.mat
. Wykonać operację różniczkowania. Na jednym rysunku zobrazować
wykres funkcji przed różniczkowaniem (kolor niebieski) i po zróżniczkowaniu (kolor czerwony).
1
Krok 2. Całkowanie metodą Simpsona
Matematyczny opis metody
Całka obliczana jest dla prostej funkcji podcałkowej
f
(
x
)
∫
b
a
f
)
(
x
dx
(1)
gdzie
a
<
b
(granice całkowania).
Przybliżoną wartość całki oblicza się na podstawie wzoru
Simpsona
.
Dany przedział [
a
,
b
] dzieli się na trzy równe podprzedziały:
[
a
,
x
1
] = [
x
0
,
x
1
], [
x
1
,
x
2
] , [
x
2
,
x
3
] = [
x
2
,
b
]. (2)
W kolejnych podprzedziałach stosujemy wór
Simpsona
x
i
+
1
h
∫
f
(
x
)
dx
≈
[
f
(
x
)
+
4
f
(
x
+
h
)
+
f
(
x
)]
=
I
, (3)
3
i
i
+
1
i
x
i
h
obliczane jest jako
h
=
x
i
+
1
−
x
i
,
i
=
0
2
. (4)
2
Czynność powtarzana jest w każdym podprzedziale. Uzyskujemy sumę:
b
≈
2
∫
f
(
x
)
dx
∑
I
. (5)
a
=
0
Następnie każdy z przedziałów dzieli się znowu na trzy części i w podobny sposób otrzymuje się
drugie przybliżenie całki. Procedura ta jest kontynuowana do chwili, gdy różnica pomiędzy dwoma
kolejnymi przybliżeniami obliczanej całki jest dostatecznie mała lub gdy długości podprzedziałów
są mniejsze od (
b
-
a
)/3
n
, gdzie
n
oznacza zadaną liczbę naturalną.
2
Przykład.
Obliczyć całkę oznaczoną
∫
sin(
dx
x
.
)
0
>>
x = quad(‘sin’, 0, 2*pi)
2
π
Zad 2.
Obliczyć całkę oznaczoną
−
cos(
dx
x
.
)
2
π
2
i
i
i
Krok 3. Wygładzanie krzywych
Funkcja
f2=smooth(f1, okno, metoda, stwielomianu)
gdzie:
f1
- wektor wartości funkcji, która ma zostać wygładzona
okno –
wielkość okna w jednym kroku wygładzania (liczba nieparzysta)
metoda –
nazwa algorytmu wygładzania (np. ‘sgolay’ - metoda Savitzky’ego-Golaya)
stwielomianu
– stopień wielomianu wygładzającego
f2
–
wektor wartości funkcji wygładzonej
realizuje operację wygładzania m.in. metodą Savitzky’ego-Golaya (wygładzanie wielomianowe).
Zad. 3.
Wczytać dane z pliku
f3.mat
. Wykonać operację wygładzania krzywej (okno: 13 punktów,
algorytm Savitzky’ego – Golaya, stopień wielomianu: 2 ). Na jednym rysunku zobrazować wykres funkcji
przed wygładzeniem (kolor niebieski) i po wygładzeniu (kolor czerwony).
3
Krok 4. Obliczanie miejsc zerowych funkcji wielomianowej
Przykład.
Obliczyć miejsca zerowe funkcji y = x
3
- 2x
2
– 8x +15 .
>>
x = roots([1 -2 -8 15])
Odpowiedź: -2.7913 3.0000 1.7913
Zad. 4.
Obliczyć miejsca zerowe wielomianu y = x
4
- 10x
3
+ 35x
2
– 50x + 24.
Odpowiedź: 4 3 2 1.
4
Krok 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
Załóżmy, że układ równań liniowych doprowadziliśmy do postaci macierzowej zapisanej jako:
A*X=b
gdzie:
A
- macierz współczynników przy niewiadomych,
X
- wektor niewiadomych,
b
- wektor wyrazów wolnych
Wtedy rozwiązanie czyli wektor niewiadomych
X
wyznaczamy przez lewostronne pomnożenie obu stron
równania przez macierz odwrotną do A zapisywaną w Matlabie jako
inv(A)
:
inv(A)*A*X= inv(A)*b
Ponieważ iloczyn macierzy danej i odwrotnej jest macierzą jednostkową, którą można pominąć, więc
rozwiązanie dowolnego układu równań liniowych otrzymamy przy pomocy jednego wzoru:
X=inv(A)*b
Przykład.
Rozwiązać w języku MATLAB układ równań liniowych:
x +2y + z = 8
3x –2y+2z = -1
-x + y – z = -2
>>
A = [1 2 1; 3 -2 2; -1 1 -1]
>>
b = [8; -1; -2]
>>
X = inv(A)*b
Odpowiedź: x=-5, y=2, z=9.
Zad. 5.
Rozwiązać w języku MATLAB układ równań liniowych:
2x + 2y + 9z + v = 8
-3x – 7y+2z - 3v = -3
-4x - 5y – z + 2v = -2
-5x - 2y – z = -12
Odpowiedź: x=2.8640, y= -1.3507, z=0.3813, v=1.5419
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • mement.xlx.pl

    • Tematy