Mathematik-Lexikon, ☆──══♦ஓ♦══──☆ ANGIELSKI, ANGIELSKI sprawdziany(1)(2)(1)

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Mathematik-Lexikon HM2002
Abszisse
Die x-Koordinate eines Punktes
->
Ordinate
(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ a
n-2
x
n-2
+ ... + a
1
x + a
0
Zur Festlegung dieses Terms sind n+1 voneinander unabhängige Gleichungen notwendig.
Im folgenden werden einige Aussagen angegeben und in einer mathematischen Gleichung
formuliert:
1.
"Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse"
=> die Koeffizienten aller ungeraden Potenzen von x sind Null
"Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung"
=> die Koeffizienten aller geraden Potenzen von x sind Null
2.
"Der Graph besitzt an der Stelle x
0
die Steigung m"
=> f'(x
0
) = m
"Der Graph besitzt an der Stelle x
0
eine waagrechte Tangente"
=> m = 0 => f'(x
0
) = 0
"Der Graph schließt mit der x-Achse einen Winkel
ein"
=> m = tan
π
=> f'(x
0
) = tan
π
3.
"Die Tangente an den Graphen an der Stelle
x
0
ist parallel zur Tangente an den Graphen der
Funktion g an der Stelle x
0 .
"
=> f'(x
0
) = g'(x
0
)
4.
"Der Graph der Funktion f berührt an der Stelle x
0
den Graphen der Funktion g "
5.
"Der Graph der Funktion f berührt an der Stelle x
0
die x-Achse"
oder
"... hat an der Stelle x
0
eine doppelte Nullstelle"
=> f(x
0
) = 0 und f'(x
0
) = 0
6.
"Der Graph besitzt im Punkt E(x
0
;y
0
) einen Extrempunkt"
7.
"Der Graph besitzt im Punkt W(x
0
;y
0
) einen Wendepunkt"
8.
"Der Graph besitzt im Punkt T(x
0
;y
0
) einen Terassenpunkt"
9.
"Der Graph der Funktion f schließt mit der x-Achse und den Geraden x=a und x=b eine Fläche
mit dem Inhalt z FE ein"
(In (a;b) sei keine Nullstelle und Graph oberhalb der x-Achse)
Aufstellen von Funktionstermen
Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades:
ƒ
π
=> f(x
0
) = g(x
0
) und f'(x
0
) = g'(x
0
)
=> f(x
0
) = y
0
und f'(x
0
) = 0
=> f(x
0
) = y
0
und f''(x
0
) = 0
=> f(x
0
) = y
0
und f'(x
0
) = 0 und f''(x
0
) = 0
b
∫
f x dx z
=
a
Berührpunkt
Gemeinsamer Punkt der Graphen zweier Funktionen f und g; zusätzlich dort gleiche Steigung der
Tangenten:
f(x
0
) = g(x
0
) und f '(x
0
) = g'(x
0
)
oder: Die Gleichung f(x
0
) = g(x
0
) hat zwei zusammenfallende Lösungen.
->
Schnittpunkt
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x
0
, wenn
1. f in einer Umgebung von x
0
definiert ist
2. der Differentialquotient
lim
fx fx
xx
() ( )
−
−
0
xx
0
0
existiert.
Extrempunkte
(vgl. FS S.63)
Flächeninhalt
(vgl. FS S.68)
Dreieck: A = 1/2·Grundlinie·Höhe
Viereck: A = Länge·Breite
Kreis : A = (Radius)
2
·
π
Umfang Rechteck: U = 2·(Länge + Breite)
Umfang Kreis : U = 2·Radius·
π
Ganzrationale Funktion
Eine Funktion der Form
ƒ
(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ a
n-2
x
n-2
+ ... + a
1
x + a
0
mit a
i
∈
R und a
n
0
heißt ganzrationale Funktion vom Grade n.
Bsp: f(x) = 4·x
5
+ 1/2·x
4
+ 3x -
π
Gerade
Der Graph einer Funktion der Form
f(x) = m·x + t
ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt t.
()
→
≠
Sonderfälle: x = a Gerade parallel zur y-Achse im Abstand a
y = a Gerade parallel zur x-Achse im Abstand a
Gleichungen
1) ax + b = 0 => x = -b/a
2) ax
2
+ bx + c = 0 ; D = b
2
- 4ac
D > 0 : Es existieren genau zwei Lösungen
x
12
,
=
−±
bD
a
2
D = 0 : Es existiert genau eine Lösung
x
1
=
−
2
b
a
D < 0 : Es existiert keine reelle Lösung
ax
3
+
bx
2
+
cx
=
0
3a)
x
(
ax
2
+
bx
+
c
)
=
0
⇒
x
=
0
x
=
(
siehe
2)
1
2,3
3b)
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
d
=
0
durch probieren x
1
dann Polynomdivision mit (x - x
1
)
weiter bei 2)
ax
4
+
bx
2
+
c
=
0
Substituti
on
x
2
=
z
⇒
az
2
+
bz
+
c
=
0
4)
Lösen
mit
2)
liefert
z
1,2
Ist
z
i
≥
0
⇒
x
=
±
z
i
Koordinaten
->
Abszisse
, ->
Ordinate
Krümmungsverhalten
(vgl. FS S.63/64)
Monotonieverhalten
(vgl. FS S.63 'Steigen und Fallen')
Normale
Eine Gerade n, die in einem Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden g liegt.
Für die Steigungen gilt: m
n
·m
g
= -1
Normalengleichung:
y
=
f
(
x
)
−
1
⋅
(
x
−
x
)
0
f
'
(
x
)
0
0
->
Tangente
:
 Nullstellen
Bedingung: f(x
0
) = 0 (Lösung: ->
Gleichungen
)
1) Nullstelle 1. Ordnung: Graph schneidet die x-Achse
2) Nullstelle 2. Ordnung: Graph berührt die x-Achse (Extrempunkt)
3) Nullstelle 3. Ordnung: Graph durchdringt die x-Achse mit
horizontaler Tangente (Terassenpunkt)
Ordinate
die y-Koordinate eines Punktes
Parabel
Graph der ganzrationalen Funktion 2. Grades:
f(x) = ax
2
+ bx + c
Scheitelform: f(x) = a·(x - x
s
)
2
+ y
S
−
b
mit
x
S
=
x-Scheitelkoordinate
a
y
s
= f(x
S
) y-Scheitelkoordinate
Der Parameter a bestimmt die Form:
a>0 => Graph nach oben geöffnet
a<0 => Graph nach unten geöffnet
|a| = 1 => Normalparabel
|a| > 1 => Graph gestreckt
|a| < 1 => Graph gestaucht
Parameter
Formvariable in einem Funktionsterm, etwa
f(x) = ax
3
+ bx
2
mit a,b als Parameter
Quadranten
II. | I.
––––––––
III. | IV.
Scheitelpunkt
->
Parabel
Schnittpunkt
Gemeinsamer Punkt zweier Graphen von Funktionen.
Bedingung: f(x
0
) = g(x
0
) (Lösung: ->
Gleichungen
)
->
Berührpunkt
Stammfunktion
Jede Funktion F, die die Bedingung F'(x) = f(x) erfüllt, heißt Stammfunktion von f.
(vgl. FS S.65)
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